二阶随机微分方程的Runge-Kutta方法研究

Second-oder stochastic differential equations capture the dynamic behaviour of many natural phenomena, and have found applications in many fields such as Physics,Contorl, Biology and Fiance. Up to now, the outcomes about numerical simulations of second-order system are limited. As a usual way , such a system is transformed into a first order differential equations of doubled dimension by considering a new variable, then the classical methods such as Euler scheme can be uesed to solve the first-order system. But in many cases ,it is more advantageous and efficient to treat the second-order system directly rather than to convert them to first-order version. In this project, we will investigate the stochastic Runge-Kutta-Nystrom（SRKN）method to solve the second-order system directly.At first, the Nystrom tree will be studied, then the Faa di Bruno formula is to be developed. Secondly , we will provide the general SRKN scheme, and search the order condition. By applying the embedded technique and minimum mean-square error principal, we will contruct the concrete methods. Furthermore, comparing the new schemes and the familiar methods for second-order system, the stability and convergence will be investigated. On the other hand, we focus on the long-term behavior and the oscillation of second system, the symplectic and symmetric methods will be studied for stochastic Hamilton systems.

二阶随机微分方程因反映了很多自然现象的动力行为，已在物理、控制、生物和金融等领域有着重要的应用。目前，关于数值解方面的研究成果不多，只能将其转化成一阶系统来计算。但是直接对二阶系统本身进行数值模拟将更加有效。本项目将针对求解二阶随机微分方程，研究随机Runge-Kutta-Nystrom（SRKN）方法，我们将考察随机Nystrom树，发展Faa di Bruno公式，构造一般的SRKN方法的格式，并寻求方法的阶条件。利用嵌入的思想和最小均方误差准则，我们将构造具体的计算方法。进一步，将新算法与化系统为一阶方程的常用计算方法进行比较，分析稳定性和收敛性。同时，我们也将关注长时行为和系统的振荡性，研究随机Hamilton系统的辛方法和对称方法。

二阶随机微分方程因反映了很多自然现象的动力行为，已在物理、控制、生物和金融等领域有着重要的应用,一般的，这类方程很难求其理论解，故而在指导实际应用和研究中往往作用有限，因此，构造合适的数值方法求出方程的近似解就显得尤为重要了。本项目将针对求解二阶随机微分方程，研究随机Runge-Kutta-Nystrom（SRKN）方法，我们将考察随机Nystrom树，发展Faa di Bruno公式，构造一般的SRKN方法的格式，并寻求方法的阶条件。.首先基于简单的线性的二阶随机微分方程，考虑引入势函数分量，将二阶随机微分方程转化为一阶随机微分方程组，引入了彩色树理论，研究了随机版本的Faadi Bruno公式，得到了Stochastic Runge-Kutta(SRK)方法的阶条件，构造了0.5阶和1阶的强SRK方法。.研究了多维噪声的二阶积分的模拟，因二阶积分理论上无法确定其分布，所以只能从近似计算的角度考察其高维逼近的可能。本项目利用条件特征函数和傅里叶变换，得到了其近似计算公式，为此类方程的数值近似打下基础。.在二重积分的近似和SRK方法实现的工程中，发现计算量巨大，故考虑了基于IMEX Runge-Kutta方法的Parareal算法实现，首先基于确定性的微分方程，研究了并行计算的实现和稳定性分析，结果良好。.本项目按原研究计划，发现了一些实质性的困难，主要有：由于噪声项的引入，特别是多维噪声的存在使得理论分析极其困难，除了少数线性方程，对于一般非线性高维情况解的存在和唯一性无法保证，稳定性分析也较困难，已有成果甚少；与确定性二阶常微分方程的研究类似，本项目也试图从出发，给出一般的振荡方程的积分形式，然后考虑理论解和数值解的展开，但由于噪声项的存在和干扰，随机版本的积分公式极难确定，要结合多维Ito公式，在理论推导上出现实质性的困难，无法给出随机版本的常数变易公式及解的展开式，导致进展缓慢。