序列编码中的若干组合对象研究

Combinatorial design theory mainly studies the property, existence, construction and classification of discrete configurations. In recently years, the hot reseach areas of combinatorial design theory are the constrction and existence of classical designs and designs with appliction backgrouds. Sequence design is one of the important branches of coding theory, and closely related to combinatoial design theory. This project will investigate some combinatorial objects which have important applications in sequence design. It mainly includes the following contents: 1) Construction and existence of cyclic perfect Mendelsohn difference families related to strictly optimal frequency-hopping sequences (set). 2) Construction and existence of almost difference sets (pair) related to sequences (pair) with optimal autocorrelation. 3) Construction and existence of Bent function sets related to optimal codebooks. Research on these subjects has important theoretical significance and application value.

组合设计主要研究各种离散结构的性质、存在性、构造和分类问题。近年来，组合设计理论研究的热点主要集中在经典组合设计和有着实际应用背景的组合设计的构造和存在性问题上。序列编码是编码理论的一个重要分支，和组合设计理论之间有着密切的联系。本项目拟对在序列编码中有着重要应用的若干组合对象进行研究，主要包括以下内容：1）与严格最优跳频序列（集）相关的循环完美Mendelsohn差族的构造和存在性问题；2）与最佳自相关序列（对）相关的几乎差集（对）的构造和存在性问题；3）与最优码本相关的Bent函数集的构造和存在性问题。这些课题的研究具有重要的理论意义和应用价值。

组合设计隶属离散数学的范畴，是组合数学的重要分支之一，主要研究各种类型的组合构型的性质、存在性、构造方法以及相互关系问题。序列编码是编码理论的一个重要分支，和组合设计理论之间有着密切的联系。本项目对面向序列编码的新型组合构型进行了深入研究，重点研究：1）与严格最优跳频序列（集）相关的循环完美Mendelsohn差族的构造和存在性问题；2）与最佳自相关序列（对）相关的几乎差集（对）的构造和存在性问题；3）与最优码本相关的Bent函数集的构造和存在性问题。.本项目取得的代表性成果有：1）证明了强最优跳频序列和Mendelsohn差族之间的一般化对应关系，提出了Mendelsohn差族的多个构造方法，进而得到多类新型严格最优跳频序列；2）基于交织理论和著名的Ding-Helleseth-Lam序列，构造了一类几乎差集，并利用差集构造了具有最佳自相关幅度的二元序列；确定了这类序列的线性复杂度，以线性复杂度为不变量，证明了新构造的序列与已有序列不等价；3）提出了构造具有任意可能代数次数的Bent函数和Bent幂等元的一个一般化方法，解决了著名密码学家法国巴黎第八大学Carelt教授和Sihem教授的两个公开问题，新构造的Bent函数可用于构造达到Levenstein理论界的码本。4）基于特征集和有限域上的迹函数，构造了多类最优线性码，确定了所构造线性码的重量分布；基于差填充，提出了构造局部修复码的两种方法，解决了著名编码学家Rawat教授提出的一个猜想。.本项目共发表SCI论文19篇，其中包括领域权威期刊IEEE Transaction on Information Theory 5篇、IEEE Transaction on Communications 1篇、Designs Codes and Cryptography 2篇、Finite Fields and Their Applications 2篇；2篇论文入选ESI高被引论文。项目负责人入选四川省青年千人计划和教育部/装备部联合青年人才资助计划、获四川省杰出青年科学基金资助；项目组成员1人晋升为教授、2人晋升为副教授；培养博士生2名（1名毕业，1名在读）、硕士生8名（3名已毕业）。