正特征域上的饭高猜想

Iitaka conjecture in the field of complex numbers is one of unsolved fundamental conjectures in algebraic geometry. The main objective of the project is to study Iitaka conjecture in the field of positive characteristic and some related problems, such as semi-positivity of direct images. Compared with Iitaka conjecture in the field of complex numbers, there are many differences in the field of positive characteristic. The differences are closed related to the nature of positive characteristic fields. We wish to produce some new research methods through the study of the new phenomena appeared in the field of positive characteristics. We also wish that these new phenomena and methods will help us to understand some related geometric and number theory problems in the field of positive characteristics, and develop the study of Iitaka conjecture and birational geometry in the field of complex numbers.

复数域上的饭高猜想是代数几何领域中一个尚未解决的基本猜想。本项目主要研究正特征域上的饭高猜想及其相关的一些几何问题，如正特征域上的正像的正性。正特征域上的饭高猜想与复数域上的有很多不同。这和正特征域的本质是紧密相连的。我们希望通过对正特征域上饭高猜想出现的新现象的研究，产生出一些新的方法。同时，希望这些新出现的现象和方法能够帮助我们理解正特征域上相关几何或数论问题，以及促进对这些问题和复数域上饭高猜想、双有理几何等的研究。

饭高猜想是代数几何中一个重要猜想。在复数域上，尽管尚未完全解决，但从已经解决的情形来看，这个猜想与代数几何中的模空间理论，下推出层的正性，极小模型纲领密切相关。对比复数域上，正特征域上的饭高猜想有许多不同。近年来发现一般情形的正特征域上的饭高猜想并不成立。复数域上部分已解决的饭高猜想情形在正特征域上仍然未能解决。这里涉及到正特征域与复数域有着本质的不同。项目组在已有正特征域上的饭高猜想的研究基础上，继续努力尝试解决这个猜想的部分情形。项目组负责人与人合作解决的正特征域上纤维为曲线情形的饭高猜想，已被Kovac-Patakfalvi近期的JAMS文章引用。项目负责人与人合作解决了正特征域上3维的饭高猜想。项目组研究了曲面典范丛的下推出正性。取得阶段性成果。项目组同时在极小模型纲领关于奇点的一些猜想中取得进展。在项目执行期间项目组有4篇SCI论文被接收。1篇在投。3篇待投。项目组取得了一定的研究成果，和国际影响力。