正特征域上层的(半)稳定性

(Semi-)Stability of sheaves is an important research subject in algebraic geometry. It has wide applications in other related fields. The Frobenius morphism is a particular automorphism in algebraic geometry in positive characteristics. It is very important to study the behaviors of the (semi-)stability of sheaves under Frobenius morphism. This program aims to study the following two problems: Firstly, we shall study the (semi-)stability of Frobenius direct images, prove the (semi-)stability of Frobenius direct images under certain conditions, and apply these results to the study of moduli space of sheaves in positive characteristics，to get the geometric properties (such as connectedness, irreducibility, smoothness, dimension and so on) about some subvarieties in moduli space of sheaves in positive characteristics. Secondly, we shall study the strong (semi-)stability of the sheaves of differential forms on higher dimensional normal projective varieties. We want to prove the strongly (semi-)stability of the sheaves of differential forms on some specific higher dimensional projective varieties, and apply these results to the study of other related fields. We also wish that we can bring some new approaches and fresh viewpoints to the study of algebraic geometry in positive characteristics.

层的(半)稳定性是代数几何中重要的研究课题，具有广泛的应用。Frobenius态射是正特征域代数几何中特有的自态射，研究层的(半)稳定性在Frobenius态射作用下的变化情况具有重要意义。本项目拟主要研究两个问题：第一，研究正特征域上Frobenius正像层的(半)稳定性，希望证明在一定条件下高维代数簇上Frobenius推出作用保持层的(半)稳定性，并将此应用于正特征域上层的模空间的研究中，得到层的模空间中某些子簇的几何性质(例如：连通性、不可约性、光滑性和维数等)；第二，研究正特征域上高维正规射影代数簇的微分形式层的强(半)稳定性，希望证明某些特殊的代数簇具有强(半)稳定的微分形式层，并将此结论应用于其他领域的研究。我们希望能够给正特征域代数几何相关问题的研究带来新的研究手段和不同的研究视角。

层的半稳定性是代数几何中的重要研究课题，研究层的半稳定性在Frobenius态射拉回或推出作用下的变化情况在正特征代数几何研究中具有重要意义。本项目主要研究正特征代数曲线上向量丛模空间的Frobenius分层结构以及正特征高维代数簇上Frobenius正像层的半稳定性。设k是特征为p>0的代数闭域，X是k上亏格g(X)>1的光滑射影代数曲线，M^{s}_X(r,d)是X上所有秩为r次数为d的稳定向量丛所构成的模空间。我们取得的主要研究成果是：I、对于特殊四元组(p,g,r,d)= (3,2,3,0)，给出模空间M^{s}_X(3,0)的Frobenius分层结构的完全分类，并得到了每个Frobenius分层片的几何性质，证明了所有Frobenius分层片的不可约性，并且求出了所有Frobenius分层片的维数；II、对于一般的四元组(p,g,r,d)，给出模空间M^{s}_X(rp,d)中由所有极大Frobenius不稳定向量丛构成的Frobenius分层片的几何性质，证明其光滑性、不可约性，并求出了其维数；III、证明亏格大于1的光滑射影代数X上存在秩为r次数为d的极大Frobenius不稳定向量丛的充分必要条件是d可被r整除。此外，我们通过研究有理主丛在结构群扩张作用下的半稳定性，研究了Frobenius正像层的半稳定性，给出正特征高维光滑射影代数簇的余切丛表示在Frobenius推出作用下保持半稳定性的充分条件。.研究正特征向量丛模空间的Frobenius分层结构是模空间理论研究的重要问题，不仅对于理解模空间本身的整体性质具有重要意义，而且对于许多相关领域的研究也具有重要的应用。本项目的研究成果为进一步研究正特征高秩向量丛模空间的Frobenius分层结构开拓了新思路，提供了新方法。正特征高维光滑射影代数簇的余切丛表示的Frobenius正像层的半稳定性研究成果可能应用于正特征双有理几何的研究。