正特征上三维代数簇的丰沛性问题

Minimal model theory is an important step in the classification of algebraic varieties, which has two central problems including existence of minimal models and abundance problem. Over an algebraically closed field of positive characteristic p >5, existence of minimal models has been proved in dimension three by Birkar, Hacon and Chenyang Xu. After this great achievement, this project aims to study abundance problem for three-folds. Following the approach in characteristic zero, abundance problem is reduced to studying several related problems including Iitaka’s conjecture, generic positivity of cotagent bundles, pseudo-effectivity of the second Chern class and canonical bundle formula and so on. To investigate these problems, we will use comprehensively the techniques of Frobenius iterations, stability of vector bundles, skills of MMP , foliation theory and Fourier-Mukai transform and so on. The progresses of this project will not only consummate minimal model theory for three-folds in positive characteristic, but also cause a deeper understanding of the geometry in positive characteristic and enhance the classification of algebraic varieties in positive characteristic.

极小模型理论是代数簇分类的重要环节，该理论有两个核心问题：极小模型的存在性和丰沛性问题。在正特征p>5的代数闭域上，3维代数簇的极小模型的存在性已经被Birkar，Hacon和许晨阳证明，本项目将研究3维代数簇的丰沛性问题。依据特征0上的解决方案，本项目将丰沛性问题化归为若干子问题，包括Iitaka猜想、余切丛的一般正性、第二陈类的伪有效性以及典范丛公式等问题。本项目拟综合利用弗若宾紐斯映射、向量丛的稳定性、极小模型理论、叶状结构理论以及Fourier-Mukai变换等工具来研究这些相关问题，进而完全解决或者对部分情形解决丰沛性问题。本项目的进展不仅能完善正特征上3维代数簇的极小模型理论，而且让人对正特征上的几何产生更深刻的理解，进而极大地促进正特征上代数簇的分类。

双有理分类是代数几何的重要研究内容，极小模型理论是分类的指导理论，其中丰沛性问题是极小模型理论的核心问题。本项目主要探索特征p上代数的分类理论，主要目标是证明特征p上三维的丰沛性问题，实施中需要解决一些子问题包括Iitaka猜想，陈类的正性，特征p上代数簇的数值平凡丛的性质等。.本项目基本实现了预期的目标：（1）对三维非正则代数簇证明了小平维数次可加性（Iitaka猜想），从而证明了丰沛性，并对一般情形举出反例说明小平维数次可加性不成立；（2）对正则情形证明了非消失定理，这是证明丰沛性的关键一步；（3）应用在研究过程中发展的工具来研究非正则代数簇，通过小平维数为0的条件刻画了阿贝尔簇。.在该项目支持下，申请人发表6篇文章，在Duke Math. J （2篇），JEMS，JLMS，Adv. Math.等杂志上。这些研究不但促进了特征p上三维代数簇的分类，使得这个领域的框架逐渐明朗，而且挖掘了一些研究特征p上双有理几何的新工具，大大加深了人们对特征p上双有理几何的理解。