二阶双曲系统的无界控制的一致半离散逼近及其应用

In order to be convenient for implementation of control theory in engineering practices, since the end of the last century, some researchers investigated controllability, observability and stabilization problems for second order hyperbolic systems from the viewpoint of numerical approximation. More precisely, they examine whether semi-discrete numerical approximations preserve the controllability, observability and stabilization properties of continuous system in the sense that the continuous properties are recovered as the mesh interval tends to zero. It is well known that numerical wave approximations yield dispersion phenomena and spurious high frequency oscillations. After diagnosing the problem pertaining to high-frequency spurious modes, which results in the non-uniform of controllability, observability and stabilization properties, researchers introduced several approaches for restoring numerical observability, controllability and exponential stability properties. In the past decades, although the elementary progresses have been made in this direction, the research models on which were only concentrated on 1-d wave equation and second-order hyperbolic system with bounded control. Based on this, we shall apply filtering method and adding vanishing viscous term to investigate uniformly numerical controllability, observability and exponential stabilization problems of second order hyperbolic system with unbounded control and apply these results to LQR optimal control and restoring initial value in this project. After solving these problems, on the one hand, numerical approximation theories of distributed parameter systems are enriched through giving new methods and obtaining new results; On the other hand, the solution of these problems are not only important in the theory and are also potentially useful in engineering.

为了便于控制理论在工程上的实现，从上世纪末开始，学者们从数值分析的角度对二阶双曲系统的可控性、可观性和指数稳定性进行了研究，就是探究半离散化数值逼近系统能否一致保持系统的可控性、可观性和指数稳定性。众所周知，对二阶双曲系统进行有限差分或有限元半离散化后会产生高频谱，导致离散化系统不具有一致可控性、可观性和指数稳定性，研究者们对高频部分所产生的影响进行了详细分析后，引入了各种方法用于恢复一致数值可观、可控和指数稳定性。经过十多年的努力，虽然在此方向上取得了初步进展，但研究对象主要是一维波方程和具有有界控制的抽象二阶双曲系统。基于此，将利用滤波法和添加粘性项法对具有无界控制的抽象二阶双曲系统的可控性、可观性和指数稳定性一致半离散化逼近进行研究，并给出这些结果在LQR最优控制和估计初值等方面的应用。通过解决这些问题，不但可以丰富分布参数系统理论，具有重要的理论意义，而且具有潜在的工程应用价值。

为了便于控制理论在工程上的实现，从上世纪末开始，学者们从数值分析的角度对二阶双曲系统的可控性、可观性和指数稳定性进行了研究. 具体的做法是，先对分布参数系统进行空间半离散化，然后探究半离散化数值逼近系统能否一致保持系统的可控性、可观性和指数稳定性, 这是边界控制得以在计算机上实现的最重要的一步. 在此背景下，本项目组在如下方面进行初步探索：1. 利用频域法对由添加粘性项法得到的半离散化系统的一致指数稳定性和一致多项式稳定性进行了研究；2. 对具有动态边界条件的波动方程引进了平均-中心差分半离散化格式，利用Lyapunov函数法验证半离散系统具有一致指数稳定性；3. 对热播耦合系统进行的谱进行分析，设计了多种反馈控制对其进行镇定，再利用平均-中心差分半离散化格式对其进行离散化，利用Lyapunov函数法验证半离散系统具有一致指数稳定性；4. 对具有变系数的传输线系统进行了研究，给出了连续系统的指数稳定性的Lyapunov函数法，给出了一种新的变系数PDE的半离散化方法，用平行与连续系统的方法验证半离散化系统具有一致指数稳定性. 同时利用Trotter-Kato定理验证离散系统的解强收敛到连续系统的解. 5. 对具有一般黏性阻尼和同位/非同位边界控制与观测的波方程的状态重构的数值逼近问题进行了研究. 6. 对具有边界控制或内部控制的Timoshenko梁进行了研究，在连续系统层面，结合半群的扰动理论和Lyapunov函数法对其指数稳定性进行了分析；利用port-Hamiltonian系统理论和平均-中心差分半离散化格式对其进行对其进行半离散化，通过半离散系统的一致混合可观性验证了一致指数稳定性；利用Trotter-Kato定理验证离散系统的解强收敛到连续系统的解；结合收敛性分析与一致指数稳定性结果，给出了离散系统的精确控制收敛到连续系统的精确控制. 7. 对边界与内部均具有反阻尼的非线性波动方程的一致指数稳定性进行了研究. 8. 对具有边界阻尼的一维线性薛定谔方程在L^2空间中进行了研究，给出了合适的半离散化差分格式，利用频域法验证了系统的一致指数稳定性.