基于降阶法的双曲偏微分系统半离散有限差分逼近

Numerical experiments are necessary in the process of partial differential control system from theory to application, in which finite difference methods are popular to most engineers and mathematicians. From the viewpoint of control engineers, the space semi-discretization scheme should be the first choice, because it produces a lumped parameter system, which is familiar with engineers. However, recent years’ research shows that if an exponentially stable control system of partial differential equations is discretized into a semi-discretized ordinary differential system, the decay rate will tend to zero as space size decreases, although the ordinary differential system decays exponentially for some fixed space size. This non-uniform decay rate produces the problems of whether the semi-discretized scheme is reasonable or not. The project exactly aims to find such a reasonable semi-discretized scheme. The project will construct space semi-discretized finite difference schemes for elastic beam distributed parameter systems on equidistant mesh grids based on order reduction method, without artificial intervention, such as numerical viscosity and filtering technique. The uniformly exponential stability, uniform observability, uniform controllability and the uniform convergence of discrete control will be proved. The proposed scheme can not only preserve the property of continuous system uniformly and the proof methods parallel to that of continuous systems, but also deal with all kinds of boundary conditions and preserve the nature of finite difference. The conduct of the project will bring a brand new theory and method for numerical approximations of distributed parameter control systems.

基于偏微分方程的控制系统从理论到应用都需要经过数值实验，有限差分法为大多工程和数学工作者所熟悉。从控制工程师的角度讲，空间半离散格式是首选，因为它可以产生其熟悉的集中参数系统。然而近年研究表明，一个指数稳定的偏微分控制系统，半离散后的常微分系统虽然对固定步长是指数稳定的，但随着步长变小，衰减率反而会趋于零。这种衰减率不一致的问题带来了半离散格式是否合理的根本问题。本项目就是希望找到一个这样的合理半离散格式。本项目拟基于降阶法，对弹性梁分布参数控制系统建立等距网格上的空间半离散有限差分格式，不含国际研究流行的数值粘性、滤波等人为干预，证明相应的半离散系统的一致指数稳定性、一致可观测性、一致可控性以及离散控制的一致收敛性。该格式不仅可以一致地保持连续系统的性质，证明方法平行于连续系统，还可以处理各种边界条件，保持有限差分的属性。本项目的顺利进行会给分布参数控制系统数值逼近带来全新的理论和方法。

本项目研究了一类带有时域乘子的双曲型分布参数控制系统的一致逼近问题，主要包括闭环指数稳定系统的一致指数稳定性逼近和开环控制系统的一致可控性逼近。由于传统的空间半离散有限差分格式带来的高频频数值伪震荡解产生的影响，需要通过数值粘性项或滤波等人工干预过程消除其影响。本项目通过降阶法对连续系统构造空间半离散有限差分格式，所得到的数值格式可以有效地避免传统的有限差分格式带来的高频数值伪震荡解产生的影响，不需要数值粘性项或滤波等人为干预因素，可以一致地逼近连续系统具有的控制性质，如一致指数稳定性逼近和一致可控性逼近，且半离散系统的这些性质的证明过程完全平行于连续系统的证明过程。首先对一维边界阻尼波动方程及薛定谔方程指数稳定系统构造了基于降阶法的空间半离散有限差分格式，通过构造离散的Lyapunov函数，证明了半离散系统的一致指数稳定性；其次对一维边界控制波动方程和Euler-Bernoulli梁方程构造了基于降阶法的空间半离散有限差分格式，根据HUM控制的思想，证明了半离散控制系统的一致可控性。最后对一个二维边界阻尼波动方程构造了一个新的全离散有限差分格式，通过能量方法证明了差分格式在时间和空间方向均是二阶收敛的。