有奇流中的非一致双曲链传递集

In this project, we will study the non-uniform hyperbolicity and the dynamics of chain transitive sets for singular flows. We will focus on the weak hyperbolicity of the chain transitive singular sets, and the isolation of weakly hyperbolic singular chain recurrent classes, especially for the Lyapunov stable chain recurrent classes. We will also study the relationship of the robust orbit shadowing property and the Ω-stablity.. The main difficulty involved in this problem is the phenomenon of accumulation of periodic orbits on singularities. This comes from the fact that every regular point determines a direction generated by the vector field, but a singularity does not. Most of the results for chain transitive singular sets obtained so far are for dimension 3. Thus any new result for high dimensions is exciting.

人们对含有奇点传递集的复杂性的认识开始于著名的Lorenz吸引子，而对该吸引子之外此类集合的普遍性理论的研究才刚刚开始。本项目是研究有奇流中一般的链传递集的非一致双曲性与动力学性质。重点在于探索通有系统的有奇链传递集，在某些条件下可能具有的弱双曲性。同时，我们还将研究具有弱双曲性的有奇链回复类，何时具有孤立性；特别是弱双曲的Lyapunov稳定链回复类是否是拓扑吸引子。另外，我们还拟研究可持续轨道伪轨追踪的有奇流在结构上的稳定性。. 在有奇流中，奇点被周期轨道逼近时，由于两者法空间结构的差异，很难统一处理。这是十分重要且复杂的现象，同时也是研究该类问题的困难所在。这一困难使得，在分析有奇流传递集切丛结构方面很少有理论结果，现有结果也大都集中在3维。因此在对有奇流中链传递集的研究中，取得任何高维的理论结果，都将是很有意义的。同时这也对进一步研究有奇流大范围动力学性质有重要的奠基作用。

连续动力系统与离散系统的一个重要区别，是可能含有被回复轨道逼近的奇点。这是一个十分重要的现象，著名的Lorenz吸引子就是一个代表性实例，它具有复杂且丰富的性质。本项目主要研究含奇点链传递集的弱双曲性质、相应动力学性质，以及与之相关的伪轨追踪性质。我们首先研究了流中被回复轨道逼近的奇点附近的局部性质，利用局部分析结果及其他性质，我们证明了3维星号流是熵可扩的，并进而证明了3维星号流的拓扑熵是连续的。值得指出的是，我们的结果不是对通有系统而是对全部星号流陈述。我们还证明了，C1持续可定向伪轨追踪或周期伪轨追踪的流一定是Omega稳定的，3维可C1持续轨道伪轨追踪的流是结构稳定的。此外，我们还分别研究了2维定向和非定向曲面上的流的C1持续弱伪轨追踪性与系统稳定性之间的关系。相应论文目前已有2篇分别被Journal of Dynamics and Differential Equations和Discrete and Continuous Dynamical System - A接收发表，其余论文正在审稿或撰写过程中。