Hessian方程的二阶导数估计

It is well known that a prior estimates are the foundation of the existences, uniqueness and regularity of the elliptic partial differential equations. Thus, it is also an extremely important problem for the fully nonlinear elliptic partial differential equations. The global estimates of the second derivatives are the key step for a prior estimates. k-Hessian equations are the one of central topics for the fully nonlinear elliptic partial differential equations. Our project plans to study the global estimates of the second derivatives of the k-Hessian equations with general right hand functions. The applicant joints with professor Pengfei Guan in McGill University, Canada and associated professor Changyu Ren in Jilin University to establish the global estimates of the second derivatives of the k-Hessian equations with general right hand functions for convex solutions. We also have established the global estimates of the second derivatives of the 2-Hessian equations with general right hand functions for 2-convex solutions. The applicant also joints with associated professor Changyu Ren to establish the global estimates of the second derivatives of the n-1-Hessian equations with general right hand functions for n-1-convex solutions. In the present project, our goal is to establish the global estimates of the second derivatives of the k-Hessian equations with general right hand functions for k-convex solutions. We also wish to find more new applications of our established estimates for the theory of the elliptic PDEs or geometrical problems.

众所周知，先验估计是研究椭圆偏微分方程的存在性，唯一性和正则性等基本问题的基础，也是完全非线性椭圆方程研究中的极为重要的问题。二阶导数估计又是先验估计中至关重要的一步。k-Hessian 方程是完全非线性椭圆方程的主要研究对象之一。本项目研究带有一般右端项的 k-Hessian 方程的全局二阶导数估计。申请人已经和加拿大 McGill大学的管鹏飞教授，吉林大学任长宇副教授合作，建立了有一般右端项 k-Hessain 方程的凸解的全局二阶导数估计，也建立了有一般右端项的 2-Hessain方程的 2-凸解的全局二阶导数估计。申请人和任长宇副教授一起合作，建立了有一般右端项的 n-1-Hessain方程的 n-1-凸解的全局二阶导数估计。本申请项目期望对于一般右端项的 k-Hessain 方程建立 k-凸解的全局二阶导数估计，也期望为我们已经建立的估计寻求分析和几何上的新应用。

k-Hessian 方程是完全非线性椭圆方程的主要研究对象之一。本项目研究带有一般右端项的 k-Hessian 方程的全局二阶导数估计及其几何应用。项目执行期间，我们主要研究了三类问题：（1）带一般右端项的k-Hessian 方程的全局二阶导数估计，主要是 k=n-2 的Hessian 方程的 n-2 凸解的二阶导数估计；（2）Minkowski 空间与预定曲率相关问题的研究，我们主要研究了类空常曲率整图超曲面的存在性，预定曲率问题，曲率流相关问题；（3）退化Hessian 方程的边界二阶导数估计，我们主要研究了在齐次边界和非齐次边界条件下，退化Hessian方程和退化曲率方程的边界二阶导数估计。项目执行期间，共发表接收论文9篇，另有6篇完成的文章还在投稿中。这些研究工作完善了Hessian方程的理论，拓展了预定曲率问题研究的边界，推动了几何分析理论的发展。主持申请到上海市2020年度“科技创新行动计划”基础研究领域项目和自然科学基金面上项目，两项计金额60万元。参与国家自然科学基金专项项目一项，分摊金额 48万（总金额340万）。国际交流方面，由于疫情原因，原计划的四次短期国际交流，被迫改为了两次。组织国内会议一次。