几何中的若干椭圆偏微分方程

It is a very important method that we can solve the existence and uniqueness problems in differential geometry and complex geometry, using the elliptic partial differential equation theory. For example, Minkowski problem, Calabi-Yau theorem, the existence of K¨ahler-Einstein metric, Yamabe problem, minimal manifold problem, Ricci flow and Poincar′e conjuncture, mean-curvature flow and Bernstein type theorems, are all important issues of this aspect. In our plan, we will discuss several problems of this kind. 1. Research the embeddings from the product of two unit spheres to some high dimensional sphere with prescribed Gauss-Kronecker curvature, mean curvature or the m-th mean curvatures. 2. Discuss the form-type Calabi-Yau equations and the existence of the canonical metrics in non-Kahler geometry. 3. Discuss the Generalised Gauduchon metrics on Hermitian manifolds and its applications to complex manifolds. 4. Consider the Bernstein type theorems of the self-shrinking solutions corresponding to the mean curvature flow in high co-dimension space.

利用椭圆偏微分方程理论来解决流形上的若干存在性和唯一性问题，是微分几何和复几何中的重要问题。我们希望讨论若干这类问题：(1)研究从双球面到球面嵌入超曲面的预给定 Gauss-Kronecker 曲率，平均曲率和第 m 个平均曲率问题；(2) 讨论形式型Calabi-Yau方程以及non-Kahler几何中典则度量的存在性问题；(3)讨论广义Gauduchon度量存在性方程以及其在复流形上的应用；(4)考虑高余维平均曲率流的自收缩解的 Bernstein 型定理。

偏微分方程是微分几何中研究的重要课题。很多重要的几何问题最后都转化为一些对于线性，拟线性和完全非线性方程的研究。本项目主要就是研究有几何背景的一些椭圆偏微分方程，考虑这类方程的存在性，唯一性，或者几何上的刚性，以及更多的几何应用。项目期内，我们主要做了下面两方面的工作：（a）针对一般右端项的k-Hessian方程的全局曲率估计做了研究，找到很多这类估计的几何应用，并考虑这类估计和方程正则性的关系；（b）针对一般warped product 空间中 Weyl 问题做了研究，并试图考虑与一般的拟局部质量的关系。以期望找到它在数学物理中有一些应用。这两方面的工作，我们主要得到了下面的结果：（a）我们对于凸的情况给予了完整的回答，对于n-1-Hessian 情况也给于了完整回答。并将我们的结果应用于Dirichlet 问题的内部估计，得到了一些刚性结果；（b）我们得到了这类问题的开性，非刚性性和某些条件下的刚性结果，并尝试找出一般的Shi-Tam型不等式。这两方面工作的意义：（a）工作对于搞清楚一般Hessian方程的全局曲率估计存在性和正则性这些基本问题以及一般预定曲率问题的可解性有重要的作用。（b）工作对于考虑一般带奇点时空上，也即在黑洞附近推广拟局部质量和Shi-Tam不等式是非常重要的基础性工作。