不确定动力系统的性能分析及最优控制

Many problems in control, production and management may be described by dynamical systems or fractional dynamical systems. Due to the complexity of the real world, it is a frequent matter that the systems are disturbed by external information. If we have no historical data about disturbances, it is an important approach to invite some domain experts to evaluate the quanlity of those disturbance. This kind of disturbance information may be studied by uncertainty theory. Based on the uncertainty theory, when systems are disturbed by external information, dynamical systems may be described by uncertain differential equations or uncertain fractional differential equations. This project will study the performance of uncertain dynamical systems, and optimal control problems subject to uncertain dynamical systems. The research is important in theory and applications of optimal control. The project focuses on the stability and attractivity for nonlinear uncertain dynamical systems and time-delay uncertain dynamical systems; the maximal reliability for uncertain dynamical systems; the properties, stability and attractivity for uncertain fractional differential equations; the existence and uniqueness of solution to time-delay uncertain fractional differential equation with its stability and attractivity; the optimal control problems subject to uncertain fractional differential equations; the algorithms for numerical solutions to uncertain optimal control problems. The project is a new challenge in optimal control theory by modern mathematics.

许多控制、生产、管理问题可由动力系统或分数阶动力系统描述，由于现实世界是复杂的，因而动力系统运行过程中常常受到外部信息的干扰。当扰动量没有历史数据时，由专家对其提供评估是重要的研究手段。研究这种扰动信息可依据不确定性理论。基于不确定性理论，当系统受到不确定信息干扰时，该动力系统应由不确定微分方程或分数阶不确定微分方程来刻画。本项目将对不确定动力系统进行性能分析，以及研究基于不确定动力系统的最优控制问题。本项目的研究在理论和应用上均有重要意义。本项目重点研究非线性不确定动力系统及时滞不确定动力系统的稳定性，吸引性；不确定动力系统的最大可靠性；不确定分数阶微分方程的性质，稳定性及吸引性；时滞不确定分数阶微分方程解的存在唯一性，稳定性及吸引性；基于分数阶不确定微分方程的最优控制问题；不确定最优控制问题的数值解算法。本项目的工作以现代数学为基础，为最优控制理论提出了全新的研究课题。

不确定现象广泛存在于现实系统的演化过程之中。在许多工程领域，由于资金和技术的限制而无法通过大量重复试验获取所需样本及精确观测数据，只能通过领域专家基于其经验知识给出不确定现象发生的信度，这使得系统的描述常伴有因人的主观偏好而带来的不确定性。此时，则可利用基于不确定理论的不确定动力系统对该系统的演化过程进行建模。因此对不确定动力系统的性能分析及最优控制问题的研究具有重要的理论意义及应用价值。历经四年的研究工作，本项目完成了预期的目标。针对时滞不确定动力系统，利用不等式技巧及Lyapunov直接法分别推导出系统内部稳定性及渐近稳定性的判别准则；针对奇异不确定动力系统，假定系统矩阵是正则无脉冲的，推导出其内部稳定性的充分条件，并结合动态规划原理，得到该系统最优控制问题的最优性方程；针对不确定分数阶微分动力系统，运行多种不等式技巧，给出了其解连续性、稳定性等性质的判别条件；通过定义不确定分数阶微分方程的α-轨道，运用分数阶初值问题的比较原则，推导出其α-轨道恰好为该方程解的逆不确定分布，并给出求解该方程解的期望值等问题的数值算法；而对不确定分数阶离散系统，给出了该系统有限时间稳定的充分条件，并利用古典变分法及 Lagrange 乘子法推导出了该系统最优控制的必要条件；针对不确定线性二次参数最优控制问题，通过引入控制参数以简化最优控制解的形式，并设计出相应参数优化方法，求解出最优的分段控制参数；根据系统有效运行的阈值，通过引入系统可靠性指标，研究了不确定系统的可靠性优化问题；针对不确定随机系统的最优控制问题，利用机会理论和动态规划法，推导出相应的递推方程；将非预期策略引入至不确定二人零和微分博弈问题的研究，基于粘性解理论对值函数与均衡方程的关系进行了讨论。此外，本项目还基于不确定系统理论对一些实际问题展开深入研究，取得了丰硕的研究成果。