模糊系统的Bang-Bang最优控制

A system disturbed by fuzzy information may be described by a fuzzy differential equation. An optimal control problem subject to a fuzzy differential equation is called a fuzzy optimal control problem, which was introduced by the author in a previous project supported by the NSFC. Time optimal control problem in optimal control theory is an important Bang-Bang one in practice. That is, optimal control attains at the boundary of a control variable if it is bounded. Therefore, it is very significative to study Bang-Bang optimal control problem subject to fuzzy system not only in theory but in applications. We will deal with some key problems on fuzzy Bang-Bang optimal control in this project, which is an in-depth and continuous work of our previous project. The contents of our study include Bang-Bang control normal (or Singular) problems of fuzzy affine systems in finite (or infinite) time, Bang-Bang optimal control problems subject to switched fuzzy systems, Bang-Bang optimal control problems of first passage time subject to fuzzy systems, Bang-Bang optimal control problems subject to fuzzy systems with time-delay, and Nash-equilibrium and saddle point problems of fuzzy differential game systems, which are studied by Bang-Bang control method. The investigation in this project will enrich and develop the study of fuzzy optimal control. It is a hope systematically to form the theory of Bang-Bang optimal control for fuzzy systems.

系统受到模糊信息干扰时可由模糊微分方程描述，基于模糊微分方程的最优控制问题是模糊最优控制问题，该类问题由申请者在前一基金项目中提出并研究。在最有控制理论中，时间最优控制问题是一类非常重要的Bang-Bang控制问题。即当输入控制变量有界时，最优控制只在边界上取得。所以研究模糊系统的Bang-Bang最优控制问题在理论及应用上都是极其有意义的，该工作是前一项目研究的深入和继续。本项目主要研究：有限（无限）时间内模糊仿射系统的Bang-Bang正常（奇异）最优控制问题，模糊开关系统Bang-Bang最优控制问题，基于模糊系统的首次通过时间Bang-Bang控制问题，时间延迟模糊系统的Bang-Bang最优控制问题，以及Bang-Bang最优控制在讨论模糊微分对策的Nash平衡点与鞍点问题中的应用。本项目将丰富和发展模糊最优控制的研究，较为系统地形成模糊系统Bang-Bang最优控制理论。

不确定事件是生产生活中常见的一种不确定现象，它反映人类的主观不确定性，所以任何活动只要有人的参与，就不可避免的会有不确定事件发生。若系统运行过程中受到外部因素干扰，且该干扰为不确定现象，那么其状态轨迹可用不确定微分方程或不确定差分方程描述，基于这两类不确定系统的最优控制问题称为不确定最优控制问题。时间最优控制问题是一类非常重要的bang-bang 控制问题。即当输入控制变量有界时，最优控制只在边界上取得。基于不确定系统的Bang-bang 控制问题就是本项目提出研究的不确定bang-bang 最优控制问题。本项目的研究不仅具有重要的理论意义，也有实际的应用价值。本项目经过四年研究工作，取得了预期的目标。针对有限（无限）时间内不确定正常（奇异）仿射系统的最优控制模型，利用动态规划方法，求出其bang-bang最优控制率。针对不确定开关系统的bang-bang 最优控制问题，运用两阶段算法，找出了各个时段的最优控制和最优开关时刻。针对基于不确定系统的首达时间最优控制问题，利用启发式算法，得出最优的首达时。针对时间延迟不确定系统的最优控制问题，给出了此问题存在解的充分条件，并使用动态规划原理求得相应的最优控制。用bang-bang 控制方法，研究了两个控制变量不对称时，不确定线性微分对策的Nash 平衡点、鞍点存在性问题，得到Nash 平衡点、鞍点存在的必要条件。还研究了分数阶不确定微分方程，给出了其解存在且唯一的充分条件，并求出几类分数阶不确定微分方程的解析解。研究了不确定最优控制的乐观值模型，推导出模型有解的一个充分条件，并且很成功地将其应用到组合投资问题中。对一类离散不确定最优控制的期望值模型，提出了值迭代方法，并应用于传染病防控模型研究中。并且研究了不确定环境下的供应链排序问题、一类不确定变分不等式问题、以及不确定线性系统的吸引性和稳定性等问题，取得了丰硕的研究成果。