一维覆盖映射的拟正则延拓及其在复动力系统中的应用

The main topic of this project is to study the quasi-regular extension of the covering maps from the real line to the unit circle. The importance of the research lies in the following two facts. In the aspect of the theory of quasiconformal mappings, it is a natural generalization of Beurling-Ahlfors quasiconformal extension. In the aspect of the application in complex dynamics, it allows us to construct a quasi-regular model with an invariant line field, by which we may construct an entire function with certain desired properties through quasi-conformal surgery. In particular, we have constructed the models for Stallard’s Cauchy integrals in the study of the Hausdorff dimension of the Julia sets of entire functions. We may expect that the further study in this direction may produce more and deeper applications in complex dynamics.

该项目的主要内容是研究实轴到单位圆周的一维覆盖映射的拟正则延拓。这项研究有两个重要意义。在拟共形映射的基础理论方面，这种拟正则延拓是Beurling-Ahlfors拟共形延拓的一个自然推广。在复动力系统中的应用方面，这样的延拓可以使得我们获得一个具有不变线域的拟正则模型，从而通过拟共形手术得到一个满足特定性质的整函数。特别地，在我们已经完成的工作中，我们对Stallard关于实现Julia集的Hausdorff维数的Cauchy积分给出了相应的几何模型。我们有理由相信对该课题的进一步深入研究将会在复动力系统的研究中产生更广泛且更深刻的应用。

本项目主要研究了实轴到单位圆周的覆盖映射可以延拓为上半平面到单位圆盘内的拟正则映射及其在复动力系统中的应用。经典复分析中的Beurling-Ahlfors的拟共形延拓可视为这种拟正则延拓的一个特殊情形。特别地，这种拟正则延拓在复动力系统中的应用也是广泛的，尤其是在研究整函数的Julia集的局部连通性方面。 关于本项目，我们得到的主要结果有以下几个方面。.（1）研究实轴R到单位圆周T 的一维覆盖映射的拟正则延拓，得到了拟正则延拓的充分条件且给出了Stallard的Cauchy积分相应的几何模型。.（2）作为拟正则延拓在复动力系统中的应用，利用拟共形手术构造出一类整函数使其Fatou分支都是拟圆盘的，而Julia是非局部连通的。我们所用的证明方法是新颖且创新的。.（3）研究了一类有界类型的Siegel多项式的Julia集的局部连通性。得到以下结果：当有界类型的Siegel有理函数的Julia集是连通的且每一个临界点的向前轨道是有限的，或者全在一个吸性域内，或者与有界Siegel盘的闭包相交，那么Julia集是局部连通的。这个结论自然推广了Petersen的关于整函数二次Siegel多项式的Julia集的局部连通性的结果。