拟共形Teichmuller空间及其在复动力系统中的应用

本项目旨在研究拟共形Teichmuller空间及其在复动力系统中的应用。研究万有Teichmuller空间的几何性质，特别是pre-Schwarz导数嵌入的万有Teichmuller空间的边界性质、它与Bers嵌入的边界的对应关系、两种单叶性内径的联系等。同时，我们还将使用Teichmuller空间为工具来研究复动力系统，特别是二维拓扑球面上post-critical有限的分歧覆盖的Thurston障碍的分类、Canonical Thurston障碍的不依赖于Teichmuller空间的等价定义、分歧覆盖与全纯映射的组合等价等问题。

国家自然科学基金项目《拟共形Teichmuller空间及其在复动力系统中的应用》严格按照申请书的计划对申请书中的内容进行研究。经过三年的研究，项目组成员在三个方面取得了以下成果。在复动力系统方面，对post-critical finite的分歧覆盖的Thurston障碍进行了研究，证明了对于次双曲半有理分歧覆盖，沿着canonical Thurston对整个球面进行分割，再在每个分割后的曲面上补上一些拓扑圆盘，使得每个都成为二维拓扑球面，延拓原始的映射，使得新的映射把球面映射到球面，则这个新的映射必CLH等价于有理函数。同时我们还研究了超越函数的动力系统，研究了超越整函数半群的严格游荡域的极限情况，得到了这个极限与Fatou域之间的关系。其次，在拟共形映射方面，对于一个实轴到实轴的给定保向同胚，我们引入了拟对称指数的概念，通过拟对称指数给了同胚诱导的四边形模的一个公共下界，从而给出了四边形模等于最大伸缩商的充分必要条件。同时，我们通过对曲线族进行分割，对曲线族的极值长度证明了加强的次可加不等式。根据这个结果，我们证明了Y. Shen的关于QED常数与边界伸缩商的猜测是正确的。我们还对跟广泛的多连通区域上的QED问题进行了研究，对多连通区域上调和函数的临界点进行分类，同时根据这个分类对调和函数等势线进行研究，通过对区域进行分割，证明了多连通区域上QED问题也有跟单连通区域上类似的结果。另外，我们还研究了涉及重级零点的亚纯函数的拟正规定则与涉及重级零点的亚纯函数的值分布理论。