特征标及指数和在编码中的应用

This program uses mathematical tools, such as algebra, number theory, and combinatory and so on, to investigate cyclic codes and convolutional codes. (1) Cyclic code: this program uses character matrix of a finite field, exponential sum and combinatory to investigate the minimum Hamming distance of irreducible cyclic codes of new length, and the weight distributions of cyclic codes, consta-cyclic codes and linear cods, considers whether their minimum hamming distances meet the Singleton bound, Griesmer bound, and finds the optimal linear codes. (2) Convolutional code: this program investigates linear codes with dual containing, constructs self-orthogonal convolutional codes, obtains quantum convolutional codes, compares their free distances with either generalized Singleton bound or generalized quantum Singleton bound, and find new MDS convolutional codes and new quantum MDS convolutional codes.

本项目主要运用代数、数论、以及组合等数学工具研究循环码和卷积码。（1）循环码：本项目利用有限群的特征标矩阵，指数和以及组合方法，研究有限域上一些新长度的不可约循环码的最小汉明距离，和循环码，常循环码以及线性码的重量分布，考虑其是否达到Singleton界、Griesmer界等问题，寻找最优的线性码。(2)卷积码：本项目研究对偶包含的线性码，构造自正交的卷积码，从而获得量子卷积码，比较它们的自由距离与广义Singleton界或广义量子Singleton界的大小，寻找新的Maximum-distance-separable(MDS)卷积码和量子MDS卷积码。

研究以及构造性能良好的纠错码有重要的理论意义和应用价值。本项目是在前期的研究基础上，利用数论、组合、代数数论等数学工具，同时充分利用特征标及指数和的知识研究了有限域以及群环中的本原幂等元和纠错码中的若干问题。经过努力得到了一系列的研究成果：1、给出了有限域上一类循环码的重量分布（包含一类最优三重循环码）；2、计算出了有限域上两类常循环码的重量分布；3、构造出了一类新的群特征码，并利用此码得到了一类具有较大自由距离的卷积码；4、给出了Galois环的本原幂等元以及不可约循环码与相应的对偶码的重量分布；5、得到了一类具有较好参数的新的BCH和LCD BCH码；6、得到了3类3值的Walsh谱，同时通过线性组合的方法得到了很多具有3值的Walsh谱以及构造了几类低值的Walsh谱；7、得到了有限Abelian群代数中的所有本原幂等元以及其中的LCD和自正交的Abelian码。上述研究成果为数字在传输过程的可靠性提供了一定的应用前景。