编码密码中涉及的几种指数和及其应用研究

There are many exponential sums involved in the studying on cryptography and coding theory. For example, the determination of the weight distribution of some cyclic codes, the security of some protocols,and the solutions of some equations over finite fields, are all run into the solution of a question: the evaluation of some exponential sums. Thus, the reaserching of exponential sums stands on the central stage of the studying of finite fields, and is also a main tool and target in algebraic number theory and arithmatic geometry. However, we only know some lower or upper bounds of some exponential sums,except for a few of explicit expressions of some characterisitc sums. The main purpose of this project is investigating some exponential sums involved in coding and cryptography,we will try to give the explicit expression or value distribution of some exponential sums. For some specific exponential sums, we will give the frequency of certain values.Using these results, we can obtian the weight distribution and high dimentional weight distributions of some linear codes, and construct some optimal linear codes and sequences with ideal correlations. We can also construct some (generalized) bent functions and difference sets, strongly regular graphs,etc.

在编码和密码学的研究中涉及到很多有限域上的特征和（指数和）的问题。例如一些循环码的参数的确定本质上可以归结到某些特征和的计算；一些编码体制的安全性等很多问题归结到一些代数方程（组）的求解问题，最终也可以归结到一些特征和的计算。有限域上的特征和研究在有限域的理论中占中心地位，同时也是代数数论和算术几何中重要的研究对象和工具。虽然人们知道一些特征和的值或者上下界和均值，但是能够给出显式表示的不多见。本课题研究在编码密码中涉及到的几种有限域上的特征和问题。试图给出一些指数和的显式表示或者值分布。对一些特殊的指数和，给出某个具体值出现的次数。利用这些结果，我们可以给出一些线性码的权分布及高维权分布等问题，也可以构造出一些最优线性码或者良相关序列，还可以构造一些（广义）Bent函数和差集，强正则图等。

有限域和有限环上的特征和的计算和估计是经典的代数和数论问题，同时在编码密码以及序列设计等方面有非常重要的应用，很多理论和实际问题的解决最终归结于某些特征和的计算或者至少给出一个好的界。本课题主要研究了在编码密码中经常设计的几种特征和的计算和性质，同时也利用这些特征和构造了一些最优线性码、最优码本、最优跳频序列、无偏基，POVM（一种量子信息处理中的对象），优的压缩感知矩阵，具有良好密码性质的(广义)布尔函数等等。发表了（较）高质量的学术论文 38篇，其中SCI检索期刊论文25 篇，EI检索论文（与SCI检索不重复的）4篇, 重要会议论文3篇。这些成果不仅在理论上有价值，同时在通信和密码领域有潜在的应用价值。