指数和在编码和密码学中的一些应用

Exponential sums are not only the important objects of algebraic number theory and algebraic geometry, but also the very useful tools in the studying of coding theory and cryptography. We know that the determination of the weight distribution of the reducible codes over finite fields is reduced to the determination of the exponential sums over finite fields. Until now, people have obtained a series of results of normal bases over finite fields, but we know very little about the normal bases over Galois rings with low multiplication complexity. In this project, we mainly concentrate on the study of the following two questions by using the theory of exponential sums (mainly by using the results of Gauss sums、Jacobi sums and the evaluation of the exponential sums given by the Weil Theorem of algebraic curve ) : (1) Coding theory: determing the weight distribution of a family of reducible codes over finite field; determing the weight distribution of the linear codes over Galois ring by using the Gauss sums and Jacobi sums over Galois ring. (2) Normal bases on Galois ring: studying and constructing the normal bases over Galois rings with low multiplication complexity, especially we construct the normal bases using the Gauss periods and algebraic curve.

指数和不仅是代数数论和代数几何的重要研究对象，它也是研究编码和密码学重要且有力的数学工具。确定有限域上可约循环码的重量分布，最终归结于计算有限域上的指数和。目前国内外学者对有限域上正规基的研究已经取得一系列的结果，而对伽罗华环上低乘法复杂度的正规基的研究还未充分展开。本课题将利用指数和理论（主要是高斯和、雅克比和的计算结果以及用有限域上代数曲线的有理点的Weil定理给出的指数和估计）研究以下两方面的问题：（1）编码理论：利用指数和理论计算有限域上一批可约循环码的重量分布；用伽罗华环上的高斯和、雅克比和计算环上线性码的重量分布。（2）伽罗华环上的正规基：研究和构作伽罗华环上低乘法复杂度的正规基，特别是用高斯周期和代数曲线理论构作这种正规基。

指数和不仅是代数数论和代数几何的重要研究对象，它也是研究代数编码和密码学重要且有力的数学工具。至今人们已经发现了指数和在编码及密码学中的几十种应用。如确定有限域上可约循环码的重量分布，最终归结于计算有限域上的指数和。有限域上序列集自相关与互相关值的确定，也归结于计算有限域上的指数和。本课题围绕有限域上的指数和展开了研究：（1）完全确定出了有限域上一类循环码的重量分布；（2）改进了跳频序列集平均汉明相关值的下界，并给出了跳频序列达到新给出的下界的一个简单的充分必要条件。此外，（3）给出了有限域上正规基更简单有效的判别方法、构造出了新参数的码本以及构造出了有限域上的二元循环码。.本项目执行期间，项目组成员在《Finite Fields and Their Applications》、《Advances in Mathematics of Communications》国际重要专业期刊上发表论文2篇，在《中国科学》等国内期刊发表论文3篇。发表在《Finite Fields and Their Applications》上的论文《A new criterion on normal bases of finite field extensions》被陕西省数学会评为青年教师优秀论文一等奖。课题组成员多次参加国内学术会议，并邀请同行专家前来我校交流访问。.本项目的研究成果为判别有限域上的正规基提供了更简单有效的方法，使得在通信系统中更容易得到应用。改进了彭岱渊等人关于跳频序列集平均汉明自相关值的下界，并给出了达到新下界的充分必要条件。循环码的重量分布、码本的构造等结果进一步丰富了本研究领域的研究成果。