伽罗华环上指数和及其在编码理论中的应用

Since exponential sums over finite fields have many applications in coding theory, exponential sums over finite rings as generalize of exponential sums over finite fields, exponential sums over finite rings have become very important tools to study error-correcting codes. However, we know very little about the exponential sums over finite rings...The present project aims to explore the exponential sums over Galois rings GR(p^s,r)(s≥2), and primarily research Gauss sums and Jacobi sums and so on. In the applicant’s PH.D. thesis，the Gauss sums and Jacobi sums over Galois ring GR(p^2,r), show that the values of these sums can be reduced to the Gauss sums and Jacobi sums over finite field F_{p^r} for all non-trivial cases. This project will improve research methods, establish the relation between exponential sums over Galois rings and the exponential sums over finite fields, show that the values of exponential sums over Galois rings can be reduced to the exponential sums over finite fields. Then we determine the weight distributions of some linear codes over ring Z_p^s(s≥2) by exponential sums over Galois ring...The project enriches the theory of exponential sums over Galois ring, and give their applications in coding theory. The project will play a positive role in research the exponential sums over finite communicative ring and their applications.

有限域上指数和在编码理论中已有广泛的应用，有限环上指数和作为有限域上指数和的推广，也开始成为研究纠错码的重要工具。然而，有限环上指数和的研究还未充分展开。本项目将研究伽罗华环上指数和，主要考虑伽罗华环GR(p^s,r)(s≥2)上高斯和、雅可比和等。在申请人博士毕业论文中，已考虑了伽罗华环GR(p^2,r)上高斯和与雅可比和，证明了对于所有非平凡的情况，伽罗华环GR(p^2,r)上的高斯和与雅可比和都可以化简到有限域F_{p^r}上。本项目通过进一步改进研究方法，建立伽罗华环GR(p^s,r)(s≥2)上指数和与有限域上指数和的联系。在此基础上，利用有限域及伽罗华环上指数和理论，研究环Z_p^s(s≥2)上几类线性码的重量分布。本项目不仅进一步充实和完善了有限环上指数和理论，而且给出了伽罗华环上指数和在编码理论中的一些应用，对研究一般有限交换环上指数和及其应用起着积极作用。

编码理论的基本问题是构作好参数的纠错码，即具有大的传输效率和好的纠错能力。线性码的重量分布不仅可以决定线性码的传输效率和纠错能力，而且能计算出该线性码的纠错译码的成功概率。然而线性码的重量分布问题一般是很困难的，很多线性码的重量分布仍未确定。本项目利用高斯和的性质确定了伽罗华环 GR(p^2,r)及有限链环(F_q [x])⁄((x^2 ) ) 上两类线性码的汉明重量分布，并通过Gray映射得到了一些好参数的二重量码。同时，本项目利用有限域上的二次型理论，计算出一些特定的指数和，从而确定了有限域上几类循环码的汉明重量分布，得到了一些最优码，并发现我们所研究的循环码可应用于认证码、秘密共享方案。此外，项目组还研究了有限域上线性码的符号对重量分布、环Z_4上常循环码的深度分布、有限域上线性互补对偶码。本项目不仅进一步充实和完善了伽罗华环上指数和理论，而且给出了指数和在编码理论中的一些应用，对研究一般有限交换环上指数和及其应用起着积极作用。