三角范畴中的相对同调性质和Hovey三元组

The project will study the stability of Gorenstein objects in triangulated categories, as well as the concrete expression form of Gorenstein objects in the homotopy category of modules and the derived category of modules, to clarity the connection with Gorenstein objects in the category of modules. By using the method of comparison and transformation, we will study relationship between cotorsion pairs in the category of modules or an abelian category and torsion pairs (t-structures) in a triangulated category, to further reveal the essential properties in triangulated categories different from abelian categories. Moreover, taking cotorsion pairs as a tool, we will consider some triangulated categories induced by a Hovey triple, and reveal the connection between them by using recollements for triangulated categories.. These researchs will fully explore the relative homological properties for triangulated categories, and build close relationship for the relative homological properties between triangulated categories and the category of modules or abelian categories by Hovey triple. There will be of great significance to further expand the application scope of triangulated categories.

本项目拟研究三角范畴中Gorenstein对象的稳定性，以及Gorenstein对象在模的同伦范畴和模的导出范畴中的具体表现形式，阐明与模范畴中Gorenstein对象之间的关系；通过比较和转换的方法，研究模范畴或Abel范畴中的余挠对与三角范畴中的挠对（t-结构）之间的联系，进而揭示Abel范畴与三角范畴之间的本质区别；以余挠对为工具，研究由Hovey三元组诱导的三角范畴的性质，借助于三角范畴的粘合，揭示它们之间的联系。. 这些研究将全面探索三角范畴中的相对同调性质，并以Hovey三元组为纽带，建立与模范畴或Abel范畴中相对同调性质间的紧密联系。这对进一步拓展三角范畴的应用范围具有重要意义。

本项目主要研究三角范畴中的相对同调性质和Hovey三元组。主要研究成果如下： （1）对三角范畴中的相对于三角真类ξ的Gorenstein投射对象给出了一些等价刻画, 作为应用, 得到了所有的相对于三角真类ξ的Gorenstein投射对象构成的子范畴GP(ξ)有很好的稳定性。（2）设R是具有单位元的交换Noether环，x是R上的正合零因子。我们研究了正合零因子下模的相对同调维数，即M作为R-模的相对同调维数与M/xM作为R/xR-模的相对同调维数间的关系。（3）作为强Gorenstein内射模的推广，我们引入了相对于完备遗传余挠对(X，Y)的强Gorenstein内射模，即强Gorenstein(X∩Y，Y)-内射模，并给出了等价刻画和若干性质，而且还研究了强Gorenstein(X∩Y，Y)-内射模的稳定性，证明了：Ｒ-模M是Gorenstein(X∩Y，Y)-内射模当且仅当M是某个强Gorenstein(X∩Y，Y)-内射模的直和项。（4）研究了相对于对偶对的Gorenstein平坦模构成的Hovey三元组，以及由此诱导的遗传的abelian模型结构。（5）设环扩张Ｒ⊂Ａ是(可分)Frobenius扩张，Ｍ是任意左Ａ-模。我们证明了：Ａ⊗Ｍ和Hom(Ａ,Ｍ)是Ding投射(Ding内射、n-Gorenstein投射、内射、平坦)左Ａ-模当且仅当Ｍ是Ding投射(Ding内射、n-Gorenstein投射、内射、平坦)左Ａ-模当且仅当Ｍ是Ding投射(Ding内射、n-Gorenstein投射、内射、平坦)左R-模。（6）研究了Abel范畴的复形范畴中的相对上同调和Tate上同调，证明了复形的相对上同调具有所谓的平衡性，并给出了连接复形的绝对上同调、相对上同调和相对Tate上同调的Avramov-Martsinkovsky型正合序列。（7）设X，U和Z是左R-模类，W是右R-模类且X⊆U。我们研究了Z-真(Z-余真, W-纯)的U-(余)分解与Z-真(Z-余真, W-纯)的X-(余)分解之间的关系。作为应用，我们对Gorenstein模类的稳定性问题给出了肯定的回答。特别地，得到了关于半对偶化模的Gorenstein投射、内射和平坦模的稳定性。本项目完成15篇论文，取得的成果大多数发表在重要的学术期刊上。已发表或接受发表10篇学术论文。培养硕士研究生11名。