复形的相对同调和Tate(上)同调

This project will study the properties of Cartan-Eilenberg Gorenstein flat complexes and Gorenstein flat complexes, and clarify the relationship between Gorenstein flat modules. The project studies the existence of Gorenstein projective covers, Gorenstein injective envelopes and Gorenstein flat covers for every complex over an arbitrary ring; Given a class of modules L, as far as the classes of complexes associated with L concerned, the existence of covers and envelopes are studied, such as the class of all complexes with each term in L, the class of all exact complexes with each term in L, the class of all complexes with each cycle in L and so on. At the same time, the project studies the completeness of the cotorsion pairs in the category of complexes induced by the cotorsion pair in the category of modules, namely Gillespie conjecture, thus expand to study the relative homological properties of complexes as well as its links with Tate (co)homology of complexes, trying to establish the Avramov-Martsinkovsky type exact sequence connecting the Tate (co)homology, the absolute homology and the relative homology in the category of complexes, and to reveal the essential characteristics of the category of complexes different from the category of modules. We strive to make substantive progress in the study of these issues, and to further enrich and develop the theory of relative homological algebra.

本项目将研究Cartan-Eilenberg Gorenstein平坦复形和Gorenstein平坦复形的性质，阐明与Gorenstein平坦模之间的关系；研究一般环上复形的Gorenstein投射覆盖、Gorenstein内射包络和Gorenstein平坦覆盖的存在性；给定一模类L，就与其相关的复形类(每个层次上的模都在L中的复形类，每个层次上的模都在L中的正合复形类，及每个循环都在L中的正合复形类等)研究覆盖与包络的存在性，以及由模范畴中的余挠对所诱导的复形范畴中的余挠对的完备性，即Gillespie猜想，由此展开对复形的相对同调性质的研究，并与复形的Tate(上)同调联系起来，建立连接绝对同调、相对同调和Tate(上)同调的Avramov-Martsinkovsky型正合序列，揭示复形范畴中区别于模范畴的本质特征。力争在这些问题的研究中取得本质性进展，将进一步丰富和发展相对同调代数。

本项目研究复形范畴中的相对同调性质，以及与Tate上同调之间的联系，取得了一系列成果。引入并研究了复形的强Gorenstein平坦维数，并用相对于F-完全分解的Tate上同调函子刻画了复形的投射维数的有限性，这里的F表示所有的平坦模构成的类；得到了Cartan-Eilenberg Gorenstein范畴具有很好的稳定性；对Gillespie于2004年提出的一个公开问题给出了部分回答，确定了右凝聚环上的每个复形都有Gorenstein平坦覆盖；给出了上三角矩阵环上的Gorenstein投射模及其维数的相关性质；借助于2次强Gorenstein平坦模，给出了强Gorenstein平坦模的一些等价刻画；研究了相对于半对偶R-模C的Ding投射模及维数在优越扩张和局部化上的不变性质。这些结论揭示了复形范畴中区别于模范畴的一些本质特征，丰富了相对同调代数理论。在《Comm. Algebra》, 《Arch. Math.》， 《Turkish Journal of Mathematics》等发表论文9篇，其中包括SCI论文5篇，毕业和在读研究生4名。