芬斯勒几何中的黎曼曲率及相关问题研究

The project will take the study of Riemann curvature and its related geometric quantities in Finsler geometry as the main thread, the important questions as the drive, the researches about Randers metrics and (α, β)- metrics as the guide, and the profound revelation of geometric structures and properties of Finsler spaces as the core. The project will proceed from the study of the existence of Einstein Finsler metrics and deeply reveal the structures and properties of Einstein Finsler metrics. The project will concentrate on characterizing Finsler metrics of scalar flag curvature, and determining the local structures of Randers metrics of scalar flag curvature. Meanwhile, the project will deeply explore the conformal invariances of Finsler metrics, and profoundly reveal the structures and properties of conformally flat Finsler metrics and conformally Einstein Finsler metrics. The project will also deeply study the structures and properties of conformal vector fields and explore their application in the related questions. The researches in this project attach importance to the combination with physics and other subjects. The main thread of the study in this project is clear; the train of thought is unusual and unique; the research content, the research methods and measures are original. The researches in this project are significant for enriching the research content of Finsler geometry, deepening and broadening the studies on Finsler geometry and its application in the related fields, and accelerating the development of Finsler geometry.

本项目将以研究芬斯勒几何中的黎曼曲率及相关的几何量为主线，以重要问题为驱动，以关于Randers度量和(α, β)-度量的研究为引领，以深刻揭示芬斯勒空间的结构与性质为核心，拟从研究Einstein芬斯勒度量的存在性问题出发深刻揭示Einstein芬斯勒度量的结构与性质，致力深入刻划具有标量旗曲率的芬斯勒度量，确定具有标量旗曲率的Randers度量的局部结构。同时，拟深入探讨芬斯勒度量的共形不变性，深入揭示共形平坦芬斯勒度量和共形Einstein芬斯勒度量的结构与性质；深入研究共形向量场的结构与性质，探讨其在相关问题中的应用。本项目的研究还十分注重与物理学等学科的融合。本项目的研究主线清晰，研究思路新颖、独特，在研究内容、研究方法和手段上都具有鲜明的创新性；对丰富芬斯勒几何的研究内容、深化和拓宽芬斯勒几何及其在相关领域的应用研究、促进芬斯勒几何的发展具有重要意义。

本项目对Einstein芬斯勒度量的几何与拓扑性质开展了深入的研究，进一步刻画和揭示了芬斯勒度量的Ricci曲率性质，部分地对陈省身先生提出的一个著名问题给出了肯定的回答。对具有标量旗曲率的芬斯勒度量开展了持续深入的研究，完全刻画了具有标量旗曲率和迷向S-曲率的正则(α, β)-度量。我们深入探讨了芬斯勒度量的共形不变性，深入研究了共形平坦芬斯勒度量及相关问题。我们还深入研究和刻画了共形向量场的结构和性质，探讨了Killing向量场在有关问题中的应用。作为芬斯勒几何中的一项重要的基础性研究工作，我们继续深入研究了非黎曼几何量的几何性质，深入探讨了非黎曼几何量对芬斯勒空间结构的影响。我们还继续深入研究和确定了局部对偶平坦芬斯勒度量的结构。四年来，在基金的支持下，本项目开展了一系列富有成效的学术交流活动；已发表论文36篇（其中17篇为SCI核心源刊论文、1篇为EI源刊论文），另有5篇论文被Kodai Mathematical Journal 等学术刊物（其中2种刊物为SCI核心源刊）录用待发表；另完成论文6篇。本项目研究成果已在国内外同行中产生重要影响。