本质同构不变量和算子代数上的线性映射

研究算子代数上保持某种同构不变量的线性映射的刻画问题以及与算子代数上同构的关系是近些年算子代数和算子理论中十分活跃的研究领域。但迄今涉及紧扰动下不变的同构不变量，即本质同构不变量的相应成果却很少，而这类问题与Calkin代数或商代数的结构有密切关系。本项目的目的就是探讨算子代数上保持本质同构不变量，例如本质正规算子、本质谱函数、Weyl谱等等，的线性映射的刻画问题，用本质同构不变量来刻画算子代数间的同构或同构的紧扰动；引入新的本质同构不变量，例如本质极小模、本质满模、本质极大模和本质约化极小模， 研究这些本质同构不变量的性质并试图给出保持这四个本质模的线性映射的刻画和分类。本项目研究将进一步加深我们对Calkin代数的认识，也将从新的角度为Calkin代数的研究提供有用信息。

把算子代数中元的某种特征作为其上线性映射的不变量来刻画算子代数上的同构是近些年算子代数和算子理论中十分活跃的研究领域，相关研究成果已经在量子力学与量子信息理论中得到广泛应用。但目前对保持紧扰动下的同构不变量的线性映射的研究却很少，值得研究的问题非常多。本项目我们研究了算子代数上保持紧扰动下的同构不变量-本质正规算子、Weyl谱的线性映射的刻画问题；我们证明了标准算子代数上保持算子Jordan-triple乘积边缘谱的非线性映射是环同构或环反同构的常数倍；完全刻画了自伴算子空间和对称算子空间上Jordan可乘双射，得到了对称算子空间和自伴算子空间上的Jordan环同构的新刻画； 研究了算子代数上的高阶可导（可导）映射，给出可加映射在某类点可导的充要条件，得到了标准算子代数中的有限秩算子和单射算子、稠值域算子是全可导点，及套代数中的非零元是高阶全可导点，进而得到了(高阶)导子的等价刻画；证明了套代数上的非线性高阶Jordan导子高阶导子；完全刻画了算子代数上的非线性Lie导子，得到了Lie导子的新刻画。刻画了序列效应代数上双边保序列零积的满射，得到了序列同构的新刻画。 相关研究成果已经在《Linear Algebra and its Application》、 《Linear and Multilinear Algebra》、 《Journal of Pure and Applied algebra》、《Expositiones. Mathematicae》、《Operators and Matrices》、《数学学报》、《数学物理学报》、《数学研究与评论》等国内外重要刊物发表学术论文10多篇，其中在SCI核心期刊发表论文6篇。