自由卷积的正则性问题及算子值自由概率论

After about thirty years’ development, free probability theory is now an important branch of functional analysis and operator algebras, which has deep connections with many important problems in operator algebras, random matrices, combinatorics, representation theory and mathematical physics. Free convolution is introduced to represent the sum or the product of free independent random variables, which is a fundamental notion in free probability. The study of regularity problems of free convolution attracts many interests in the early development of the free probability theory. H.Bercovici and D.V.Voiculescu studied regularity problems of free convolutions using tools from complex analysis. They found the superconvergence phenomena in free probability, which does not exist in classical probability. This work was later used in the study of random matrices and quantum information theory. We plan to extend their result and show that some of the original restrictions of the condition in their work can be removed. We will then apply our research to the study of random matrices. In addition, we are also interested in the rate of convergence of the central limit theorem in free probability and some problems in operator-valued free probability, which are related to this study.

经过近三十年的发展，自由概率论已经成为泛函分析与算子代数领域的一个重要分支，它和算子代数、随机矩阵、组合学、群表示论及数学物理等数学领域中的许多重要问题有着非常深刻的联系。自由卷积表示相互独立的自由随机变量的和或乘积的分布，为自由概率论的一个基本概念。关于自由卷积的正则性问题的研究在自由概率论的发展之初就得到重视。H.Bercovici和D.V.Voiculescu用复分析的办法较系统地研究了自由卷积的正则性。他们还发现自由概率论中的超收敛现象，这种现象在经典概率中是没有的。他们的研究后来也被用到随机矩阵及量子信息论的研究中。在本项目，我们计划拓展他们的工作，在我们已有工作的基础上说明在更弱的条件下也有该现象。并且，我们还计划将这些理论应用于随机矩阵的研究中。此外，我们还计划研究与之相关的，自由概率论的中心极限定理的收敛速度问题，以及算子值自由概率论中的相关问题。

自由概率论是基于所谓自由独立性的研究非交换随机变量的数学分支，是泛函分析和概率论的交叉学科。自由独立性是由Voiculescu在研究自由群因子的同构问题时引入的，用来描述某些算子的某种关系。后来他还发现自由概率论可以用来描述某些随机矩阵的联合分布的极限。自由卷积描述自由随机变量的和或者乘积的分布。本课题研究自由概率论中自由卷积的正则性问题及其应用。我们研究了超收敛现象及量子信息中的若干问题。对于加法自由卷积，我们将以前的超收敛结果推广至所有的无穷可分分布，这或许是这一问题最一般的结果了。此外，我们研究了量子信息中的PPT平方猜想，我们用随机矩阵及自由概率论的方法针对某些随机量子态研究了这个猜想，我们的结果支持这个猜想，在理论上有一定的意义，