动力系统复杂性理论及相关问题的研究

In this project, we mainly study the complexity of dynamical systems and its related problems. In the theory of stable sets for dynamics, we wish disscuss the characteristics of stable sets for systems with positive entropy from the viewpoint of mean and multivariate. In addition , we will investigate the chaoticity, entropy estimation and dimension of stable sets for general group actions. In the sensitivity of systems, we shall study the relationship between sensitivity and other dynamical properties. We also study the sensitivity of group actions by using ideas and methods of sensitivity theory of discrete dynamical systems. In the sequence entropy of system, we mainly develop sequence entropy theory of general group actions. In the complexity of some special spaces, we will study the maximal pattern entropy conjecture and Mobius disjointness conjecture. As applications, we will analyze the complexity of some economic mode by using the method of dynamical systems. These problems can help us to understand the complex behavior of dynamical systems and related topics.

本项目主要围绕动力系统复杂性及相关问题开展研究。在动力系统稳定集方面，我们希望从平均化与多值化的观点继续探讨正熵系统稳定集的特性。此外，我们将重点研究一般群作用下稳定集的混沌行为、熵估计及维数等。在动力系统敏感性方面，我们将进一步研究动力系统敏感性与其它动力学性质之间的关系。同时，我们将运用成熟的离散动力系统敏感性理论的思想方法研究一般群作用敏感性。在动力系统序列熵方面，我们将发展一般群作用的序列熵理论。在特定空间系统的复杂性方面，我们将研究树突映射的极大模式熵猜测及 Mobius 不交性猜测。作为应用，我们将运用动力学方法分析经济模型的复杂性。这些问题的研究将使人们对动力系统复杂性及相关问题有更深入的理解。

在动力系统领域中，动力系统复杂性相关的基础与应用研究是一个非常重要的研究方向, 与之相关的问题一直以来也都受到大家的广泛关注。本项目主要讨论群作用动力系统复杂性以及特定空间上动力系统的复杂性，完成论文成果 10 篇 (已接收发表 7 篇)，培养硕士研究生 7 人。主要研究内容包括群作用条件熵与平均Li-Yorke混沌，群作用传递系统的分类，半群作用的回复性，群作用序列熵与离散谱，正熵群作用稳定集的维数，特定空间上动力系统复杂性，动力系统逆像熵结构，信息系统的不确定性度量等. 取得的主要成果包括：在群作用动力系统复杂性方面，利用时间回复集、弱不交性、复杂性函数三个不同角度系统地讨论了可数离散群作用传递系统的分类；利用序列熵刻画可数顺从群作用的离散谱和混合性质；运用族的观点刻画一般可数离散半群的迫使回复性；顺从群作用条件熵与平均Li-Yorke 混沌；对群作用系统引入周期分解的概念，并得到传递与极小群作用的周期分解性。在特定空间上动力系统复杂性方面，对一致空间上同胚引入拓扑稳定性的概念，并讨论它与扩张性及伪轨跟踪性之间的关系；从捆绑逆像轨道的角度讨论了非可逆非自治系统的逆像熵；四混合信息系统的不确定性度量及其在属性约简中的应用。这些工作为加强对群作用动力系统复杂性的理解方面具有很好的理论意义，也为其它相关问题的深入研究奠定了基础。