向列型液晶模型的数学理论研究

In this programme, we will investigate the nonlinear partial differential equations arisen from nematic liquid crystal flows. We mainly consider the Q-tensor model, the Ericksen-Leslie model and the simplified Ericksen-Leslie model (Navier-Stokes equations coupled with harmonic heat flow or wave map), and we are interested in various properties of the solutions, such as the well-posedness, blow up mechanics, asymptotic behavior and the free boundary problem, etc. These problems have clear physical background and practical significance, which will not only promote the development of the theory of the nonlinear partial differential equations, but also provide important theoretic references for practical problems.

在本项目中，我们计划研究向列型液晶材料中的非线性偏微分方程组的若干问题，主要考虑以下数学模型：Q-张量模型，Ericksen-Leslie模型以及简化的Ericksen-Leslie模型（Navier-Stokes方程组耦合调和映照热流，或Navier-Stokes方程组耦合波映照）。拟考虑的问题包括：解的适定性、爆破机制、渐近行为以及自由边界问题等。这些问题具有鲜明的物理背景和现实意义，其相关研究既能丰富非线性偏微分方程的数学理论，又能为实际应用提供重要的理论依据。

在工业生产中，液晶材料被广泛应用于轻薄型显示材料，光控开关，以及生物工艺学等各个重要领域。从理论分析的角度言之，液晶分子的形变、缺陷的分布特征和运动规律以及动力学模型的性态分析等问题均对液晶材料的工业生产研究起着举足轻重的作用。因此，长期以来，液晶的数学理论研究广泛吸引着国内外众多数学物理学家的密切关注。.液晶材料经典的动力学模型主要分三个层面：微观分子模型（Doi-Onsager模型），张量模型（Beris-Edwards模型）以及向量模型（Ericksen-Leslie模型）。.本项目重点研究了向列型液晶数学模型的动态规律，得到如下结果。(1) 在真空连续连接的条件下，建立了可压缩简化Ericksen-Leslie模型的自由边界问题的一维整体弱解存在性和内正则性，以及光滑解的生命尺度估计；(2) 建立了不可压缩Beris-Edwards发展型Q-张量系统的高维整体弱解的存在性，大粘性条件下的整体正则解存在性，以及关于初值的连续依赖定理（弱强唯一性）；(3) 通过构造关于耦合系统的椭圆算子，建立了二维不可压缩大分子简化Ericksen-Leslie模型（考虑了拉伸项）第一边值问题在某种限定条件下的二维整体强解的存在性。.上述结果补充了向列型液晶材料非线性偏微分方程的数学理论，为液晶材料实际工业应用提供一定的理论依据。