不可压向列型液晶流系统的一些数学问题研究

In this project, we consider several mathematical problems for the three dimensional hydrodynamic system modeling from the incompressible nematic liquid crystal (INLC) flows. This system describes the time evolution of the motion of the nematic liquid crystal flows. By applying Littilewood-Paley decomposition, Fourier local analysis method and Bony paraproduct decomposition, we shall study the well-posedness of the Cauchy problem of this system with initial data in critical Besov spaces, and study the global well-posedness of the Cauchy problem of this system with initial data in critical Besov space and without "small enough" condition. By the Sobolev embedding thoerems, the Interpolation theory and regularity of solutions to the Navier-Soktes equations, we will view on the blow-up criteria for the local strong solutions of this system. The research contents of the project are still fundamental important to the study of the nonlinear partial differential equations modeling from incompressible fluids, therefore, the reseach results have important theoretical significance for further understanding of the dynamic theory of the nematic liquid crystal flows and for promoting the development of the nonlinear partial differential equations in incompressible fluids.

本项目拟研究流体动力学中三维不可压向列型液晶流(Incompressible Nematic Liquid Crystal (INLC) flow)系统的一些数学问题。该系统反映了不可压向列型液晶流体随时间的演化过程。我们拟通过Littlewood-Paley分解方法、Fourier局部分析方法和Bony仿积分解技巧等，研究该系统对应任意初始值属于临界Besov空间时Cauchy问题的适定性，以及研究该系统对应初始值属于临界Besov空间且无"足够小"条件时Cauchy问题的全局适定性。借助Soblev嵌入定理、插值理论和Navier-Sokes方程组解的正则性估计等，研究该系统局部强解的爆破机制及爆破准则问题。本项目的研究内容在不可压流体中非线性偏微分方程研究领域也具基本的重要性，因此，研究成果对向列型液晶流动力学规律的进一步认识以及对推动不可压流体中非线性偏微分方程的发展具有重要意义。

向列型液晶流(Nematic Liquid Crystal flow (NLC))系统是具有强耦合性、强非线性的耦合型方程组，有着丰富的物理背景和实际应用，以及存在众多有待解决的数学问题，一直以来是应用数学和计算流体力学研究的前沿热点问题之一。本项目通过利用各种数学方法在较弱临界空间中建立可压与不可压向列型液晶流系统相应Cauchy问题的全局适定性，以及通过组建一系列一致的先验估计，得到全局解长时间性态的精确描述。另外，对局部解的爆破性也进行了研究，得到若干爆破准则。我们还对其他相关方程组如Navier-Stokes方程组等进行了相关数学研究。