一般向列型液晶的电磁波反问题

This project uses the theory of inverse problems to study the problem of determining nematic liquid crystal director profiles from polarimetry measurements. Electromagnetic scattering problem is used to establish the fundamental model for the polarimetry phenomena which result from the interaction of light and liquid crystal. The first problem solved in this project is the uniqueness of solutions of the system of the time-harmonic Maxwell's equations with low regularity, anisotropic coefficients. .Based on the uniqueness result of the forward problem, we will use the idea of.plane wave approximation of a laser beam to develop a new model in the case of.stratified media. We will formulate the transmission problem and prove the existence.and uniqueness of solutions to the transmission problem. For solving the related.inverse problem, we will first study the new model for orthorhombic crystal, and examine the sufficiency of the measurements as well as the approximation method.The method for solving the forward problem will be enriched by introducing a new approximation procedure motivated by the high frequency nature of the propagation field. The approach will be used to study the inverse problem for uniaxial.nematic liquid crystals and general nematic liquid crystals, study the proof of the existence and uniqueness of the solutions of the inverse problem. Further the regularization methods will be used to stabilize the solution of the ill-posed inverse problem, and numerically compute the reconstruction of the director vector.

本项目通过光的偏振数据来确定向列型液晶方向向量的分布规律。液晶与光相互作用下产生的偏振现象被建模成电磁波散射问题，在本项目中将解决各向异性、非均匀三维麦克斯韦方程系统在系数正则性弱时的解得唯一性问题。基于这种基础模型的唯一性，在本项目中首先利用平面波近似激光的方法建立了当介质的性质只与介质的高度相关情况下的模型。接着将会建立正问题对应的光传播模型，并证明其解得唯一性和存在性。为了求解相应的反问题，在本项目中先将这种模型应用于斜方形晶体并验证数据的充分性和近似方法的适当性。应用电磁波的高频特性来优化求解正问题的近似方法，并将这种方法应用于求解单轴向列型液晶以及一般的向列型液晶对应的反问题。从而证明该反问题的解的唯一性和存在性，利用正则化的方法来稳定该病态反问题的解。最终将通过不同数值方法来计算并反演液晶的方向向量。

向列型液晶的电磁波反问题内容主要包含正问题与反问题的求解；其中本项目首先基于项目负责人在前期工作中所建立的各向异性麦克斯韦方程在系数为弱正则时解的唯一性的结论，对反演问题进行了系统的研究。解决了光的偏振数据与液晶材料参数之间的关联问题，并且给出了反演问题解的唯一性的证明；对于正问题方面本项目也有了一定的进展，首先解决了各向同性麦克斯韦方程在系数仅为有界时解的唯一性问题，此外对电磁波的正问题和反问题都非常重要的 Rellich引理给出了新的证明。除了上述工作之外，我们还对麦克斯韦方程解的正则性方面进行了系统的研究，给出了系数在各种低正则时解的估计；这一结论对推进麦克斯韦系统解的唯一性的问题有着很重要的作用。