泛函微分包含与不连续时滞微分方程的动力学及控制研究

Aiming at the problems in the theory of functional differential inclusions, a large number of results about the properties of Filippov solutions and stability behaviors for functional differential inclusions will be extended and improved. On this basis, we further deal with the dynamical behaviors and control problems of delayed differential equations with discontinuous right-hand sides via the framework of functional differential inclusions. The topics include the existence of periodic solution and almost periodic solution, different kinds of stability and convergence behaviors for solutions (e.g., global asymptotic or exponential stability, global dissipativity and robust stability, convergence in finite time), various stabilization and synchronization control of unstable or chaotic system, and many others. On the other hand, we formulate and revise some dynamic models described by delayed differential equations with discontinuous right-hand sides in the fields of neural networks and mathematical ecology. Under the framework of functional differential inclusions, we further investigate the general dynamical behaviors, some special properties of the dynamics and various control issues by introducing novel tools and methods.

针对泛函微分包含理论中存在的问题，推广和完善泛函微分包含关于Filippov解的基本性质和稳定性结果。在此基础上，我们进一步借助泛函微分包含框架对右端不连续时滞微分方程的动力学行为和控制问题进行处理。该主题的研究主要包括:周期解和概周期解的存在性、解轨线各种不同的稳定性和收敛性行为(例如，全局渐近或指数稳定性、全局耗散性和鲁棒稳定性、有限时间收敛性)、不稳定或混沌系统的稳定化与各种同步控制等等。另一方面，我们制定和修正神经网络和生态数学领域中一些可由右端不连续的时滞微分方程描述的动力学模型。在泛函微分包含框架内，通过引进一些新颖的工具与方法来研究这些时滞不连续系统的一般动力学行为和一些特殊的动力学性质以及各种控制问题。

本项目自立项以来，对泛函微分包含与不连续时滞微分方程的动力学及控制问题进行了研究。本项目获得了一系列显著的研究成果，且绝大部分成果都发表在国际知名SCI源刊杂志上。这些研究成果为整个项目的顺利完成打下了良好的基础，也达到了本项目所制定的预期目标。本项目的研究成果主要包括理论和应用两个方面，具体可归结如下：. 在理论研究方面，对泛函微分包含关于 Filippov 解的基本问题和稳定性问题在理论与方法上进行了适当的推广和改进，主要包括：基于 Halanay 不等式的广义 Lyapunov 稳定性定理的推广；基于不定导数的 Lyapunov-Krasovskii 函数法的稳定性定理的推广；固定时间稳定性定理的推广；脉冲产生的周期性和多周期性。. 在应用研究方面，制定和修正了神经网络和生物数学领域中一些可由右端不连续的微分方程刻画的动力学模型。在泛函微分包含理论框架内，通过引进一些新颖的工具与方法来探讨这些不连续模型的动力学行为，并实现系统的同步与稳定化控制。这些动力学行为及控制研究包括：周期解、有限时间同步控制、固定时间稳定化控制等。