非线性物理学中若干机械化算法的研究

非线性系统精确求解研究是非线性物理的主要组成部分，其涉及很多领域（光学、通讯、超导、生物、经济、海洋和大气等）。数学机械化的研究为国际自动推理的研究开辟了新的前景。计算机符号和数值计算有机结合已成为研究非线性问题的主要特征。非线性Schr?dinger和Navier-Stokes方程是非线性科学中普适性很强的两个基本方程,已经在几乎所有的物理分支及其它自然科学领域得到了广泛应用。本课题通过以这两个方程为代表的一类数学物理方程的精确求解和动力学分析，开展非线性物理问题的自动算法研究：探索高维高阶非线性发展方程代数求解方法和自动推导；发展李群优化理论和研究其机械化算法；按保结构算法思想离散可积系统，求解非线性可积系统和小扰动的可积系统初边值问题,并将本课题研究成果应用于光孤子通信、玻色-爱恩斯坦凝聚、光子晶体、声子晶体、大气和海洋动力学等方面研究。

数学物理研究的趋势是计算机成为研究中越来越重要的工具。本项目基于符号计算，利用计算机进行分析与推理,并与传统的数值计算有机结合，开展了以下非线性数学物理中的重要问题的研究：.1.对称理论中优化系统的机械化实现。针对有限维Lie代数一维最优系统的构造，首次提出了一个机械化算法，并在Maple上开发了相应的算法实现软件包 ONEOptimaI，以实例说明了该算法的有效性和实用性。对高维的优化系统已有了突破性进展。.2.非局域对称理论和机械化算法实现。 提出了一个非局域对称的机械化算法，在平台Maple上编写了软件包NONSymmI,并以KdV型等方程为例，证明了其有效性和实用性。发现了重要孤子方程的椭圆周期波和孤立子的相互作用解，以及Painleve波和孤立子的相互作用的严格解；另一方面，给出了势KdV型方程的负可积梯队和其他新的可积系统。.3.Bell多项式可积性研究和机械化实现。设计了一个构造KdV-型方程双线性形式、双线性Backlund变换、Lax对和无穷守恒律的机械化算法。开发了实现该算法的软件包PDEBellII。 程序包也适用于mKdV-型方程双线性形式的自动推演。将Bell多项式方法应用到一些(1+1)维、(2+1)维和变系数非线性演化方程可积性的研究。.4. Riccati型伪势构造非局域对称的机械化算法。编写了软件包NONSymmII，由此求得了变系数fKdV方程的Lax对、AKNS形式的Lax对、Auto-Backlund变换和奇异流形方程；利用五阶Lax方程的Riccati型伪势和广义KP方程的Lax对，分别得到了它们相应的非局域对称，通过对非局域对称进行局域化，进一步研究了它们相应的有限对称变换和对称约化。.5. 用渐近分析、矩阵黎曼-希尔伯特方法、Deift-Zhou非线性速降法研究了类阶梯初值的Gerdjikov-Ivanov型导数薛定谔方程的长时间渐近行为。运用多项式递归公式、有限亏格的超椭圆曲线、Baker-Akhier函数、亚纯函数等工具，获得了整个Hunter-Saxton系列、Gerdjikov-Ivanov系列、Degasperis-Procesi系列的theta函数显式表示的代数几何解。其中DP系列解决的是困难的3阶代数曲线。