基于核函数求解变分数阶和分布阶扩散方程

Recently, it is more accurate to model an increasing number of problems in mathematical physics and engineering via variable order and distributed order fractional differential equations. However, the numerical treatment of variable order and distributed order fractional differential equations is much more complicated than that of constant order fractional differential equations. It is very important to find the effective numerical methods. The main objective of this project is to present effective numerical methods of variable order and distributed order fractional diffusion equations in the reproducing kernel Hilbert space (RKHS). RKHSs are ideal for function approximation, because interpolation in a RKHS leads to uniform convergence of the estimates. Also, the approximation of a function in a RKHS leads to the uniform approximation of its Caputo fractional derivative over compact sets. This allows the use of RKHSs for the purpose of estimating Caputo fractional derivative. This project will introduce appropriate RKHSs to simplify the estimation of function’s Caputo fractional derivative. By using advantages of reproducing kernel theory, this project will give highly accurate global approximate solutions in the RKHS. The expected results will be of great significance for fractional diffusion equations and its applications in practical problems.

近年来，人们发现，数学物理和工程中许多问题用变分数阶和分布阶微分方程建模更为精确。然而，变分数阶和分布阶微分方程的数值处理比常分数阶微分方程更为困难和复杂，寻求有效的数值方法就成为一个迫切需要解决的问题。本项目主要致力于在再生核希尔伯特空间中研究变分数阶和分布阶扩散方程的有效数值方法。再生核希尔伯特空间是研究函数逼近的理想空间框架，该空间的函数近似具有一致收敛性，而且，近似函数的Caputo型分数阶导数仍然具有一致收敛性，非常适合分数阶导数的数值处理。为了简化Caputo型分数阶导数的计算，本项目将引入合适的再生核希尔伯特空间，基于再生核函数，利用再生核理论的优势，给出变分数阶和分布阶扩散方程的高精度全局近似解。预期结果对分数阶扩散方程及其在很多实际问题中的应用具有十分重要的意义。

变分数阶和分布阶扩散方程在物理、化学、控制、信号处理等很多领域具有重要的应用，因此，这类问题的数值求解方法的研究引起了很多研究人员的兴趣。然而，由于分数阶算子的非局部性，使得构造该类问题的高精度的有效数值算法具有很大的困难。本项目致力于在再生核空间框架下，充分利用再生核理论在数值近似方面的优越性，提出求解变分数阶和分布阶扩散方程的有效数值方法。基于再生核理论和迭代的思想，提出了求解非线性空间变分数阶扩散方程的迭代再生核方法。通过使用高斯核函数和Mittag–Leffler核函数构造的二元再生核函数，提出了一种求解时间变分数阶对流扩散反应方程的无网格方法。结合数值积分公式和再生核理论，提出了求解分布阶扩散方程的有效数值方法。另外，基于再生核理论，还提出了求解具有振荡解的分数阶振子方程和分数阶系统识别等问题的有效数值算法。本项目取得的研究成果对分数阶问题在实际问题中的应用具有重要的意义。