与α-布朗桥相关的若干随机变量精细大偏差研究

α-Brownian bridge as a extension of Brownian bridge has strong statistical background, the asymptotic properties and convergence rate of estimators are one of the hot topics of domestic and foreign scholars. Large deviation method is one of the important methods of convergence rate of random variable, while statistical applications need sharp results than Large deviations since it confines to the tail probability of the limit. This project will study sharp large deviations for some random variables associated with α-Brownian bridge: energy、the log-likelihood rate and maximum likelihood estimator, and hypothesis testing of α-Brownian bridge by change of measure, which will get the sharp expression of the convergence rate of them. . This project will not only give some methods for study the large deviations of time inhomogeneous diffusion process, but also give statistical simulation, which is of practical interest since the tail probabilies are very well approximated by sharp large deviations.

α?布朗桥作为布朗桥的推广具有很强的统计背景，其估计量的渐近性质以及收敛速度等是国内外学者研究的热门课题之一。大偏差方法是研究随机变量收敛速度的重要方法，但大偏差局限在尾概率的极限行为，许多统计问题需要比大偏差更为精细的结果。本项目将用测度变换的方法研究与α?布朗桥相关的随机变量：能量泛函、对数似然比过程和极大似然估计的精细大偏差展开，从而得到它们收敛速度的精细描述以及α?布朗桥的假设检验问题。. 本项目为研究非时齐扩散过程的精细大偏差提供方法和技巧，同时给出尾概率的统计模拟,由精细大偏差得到的良好尾概率近似具有重要的统计意义。

通过本项目的研究，我们得到了α−布朗桥模型能量泛函、对数似然比过程、极大似然估计的精细大偏差。用测度变换的方法，通过计算对数矩母函数得到了能量泛函尾概率的精细大偏差结果。该结果给出的是尾概率的展开式，比通常极限形式的大偏差刻画的更精细，具有重要的统计意义。该证明过程中使用的测度变换、计算对数矩母函数方法在研究非时齐扩散过程参数估计和假设检验中具有普遍意义。借助于该思路我们还研究了该模型对数似然比过程的精细大偏差展开，以此可给出假设检验否定域的刻画；借助于随时间变化的测度变换的方法我们得到了α−布朗桥过程极大似然估计在非陡峭情形下的精细大偏差展开，该结果把时齐扩散过程的精细大偏差推广到α−布朗桥这一非时齐情形，促进大偏差理论在非时齐扩散模型的发展。. 借助于本项目中研究对数矩母函数的方法，我们还得到了非参数回归函数估计的中偏差结果。