扩散过程估计量的精细大偏差研究

The diffusion processes (e.g. Black-Scholes option pricing model, Hull-White interest rates model, etc.) which arose in economic phenomena, have a strong financial and statistical background. It is worth considering the estimation, hypothesis testing and the convergence rate of the estimators in practices. Large(moderate) deviations with a rate function is one of the important methods of the study of convergence rate. It is unflexible since the tail probability of the large deviation has a limit form, in order to improve the defect of limit, this project will consider the sharp expression of tail probability of estimators by using change of measure and expansion. Specifically, we will consider the sharp large deviation saddlepoint approximation of maximum likelihood estimator and moderate deviation expansion of nonparametric estimation based on the study of the large deviation of diffusion model. In addition we will also consider the sharp large deviation of log-likelihood rate, through which we can get the negative regions of hypothesis testing and the precise results of error probability.. The results of convergence rate of estimators in this project are extremely precise in the limit theorems of probability theory, and the large deviation expansion will not only make a deep results of large deviation estimator without normal limit, but also provide theoretical support for the demand of statistics.

扩散过程（例如 B-S期权定价模型、H-W利率模型）适应于众多经济现象的刻画，具有很强的金融和统计应用背景，估计和检验这些扩散过程以及对模型估计量的收敛速度进行深入刻画在理论和实际应用中都值得探索。涉及速率函数的大(中)偏差是研究收敛速度的主要方法之一，但是大偏差局限于尾概率的极限形式，适应性不强，因此本项目拟利用测度变换、速降展开的方法改进极限局限性，给出估计量尾概率的精细刻画。具体的，我们在前期获得扩散过程极大似然估计大偏差的基础上，研究它的大偏差鞍点逼近和离散观察下非参数估计的中偏差展开。此外该项目还将研究该模型对数似然比过程的精细大偏差，并给出假设检验的否定域以及两类错误概率的精确表达。. 本项目所考虑的估计量收敛速度是概率极限理论中极为精细的研究，所得到的大偏差完全展开逼近效果很精确，它既可深化非正态极限分布情形下的大偏差理论研究，又可为统计应用提供理论支持。

通过本项目的研究，我们得到了一般扩散过程（包括时齐Ornstein-Uhlenbeck过程、非时齐α-布朗桥）的对数似然比过程和极大似然估计的精细大偏差。利用矩母函数将对数似然比过程的的尾概率进行新的测度变换，采用特征函数、Taylor展开等工具得到了对数似然比过程的尾概率展开，从而可给出假设检验否定域的刻画；选取极大似然估计的合理变换，利用局部大偏差和指数胎紧性克服了大偏差证明过程中所遇到的非陡峭性困难，得到了极大似然估计在平稳和非平稳情形的大偏差结果；同时又进一步改进了大偏差极限描述形式的局限性，得到了极大似然估计的尾概率完全展开；此外通过鞅的中偏差，利用偏差不等式以及渐近分析的技巧得到了离散观察情形下核密度估计中偏差展开。结果的证明过程中使用的测度变换、随时间变化的测度变换、指数胎紧性等方法在扩散过程参数估计和假设检验的大偏差研究中具有普遍意义。. 本项目所得到的精细大偏差结果是尾概率的展开式，比通常极限形式的大偏差刻画的更精细，为置信区间和假设检验拒绝域的构造等问题提供理论基础，具有一定的统计意义。本项目的研究促进了大偏差理论在连续和离散观察情形下扩散模型的发展，获得了一系列的研究成果。到目前为止，本项目共发表论文4篇，其中3篇论文发表在SCI检索的杂志上。培养研究生1名。