亏群为亚循环群的块代数研究

One of the aims of modular representation theory is to show how the structure of a block of a finite group depends on the structure of its defect group. Here the structure of a block is expressed in certain numerical invariants, such as the numbers of the irreducible ordinary and modular characters. By the outstangding work of R.Brauer, E.C.Dade, G.J.Janusz and J.B.Olsson, we have gained thorough knowledge of the structure of the bloaks with cyclic, dihedral, generalized quaternion or quasidihedral defect group. However, it is very difficult to get conplete results for the blocks with other types of defect groups. Professor Zhang Jiping:" There will be more people to investigate the structure of matacyclic block combined with several open conjectures in the future." In this project, we carry out extensive research into the blocks with odd metacyclic defect groups and calculate some important invariants of the blocks. In addition, we verify Brauer's K(B) conjecture, Olsson's conjecture and Alperin's conjecture in the case that D is metacyclic and p is odd. As one will see, our research results will to some extent answer Professor Zhang Jiping's problem and help to further develop methods of local representation theory.

有限群模表示理论中，一个很重要目的是弄清楚有限群的一个p-块结构多大程度上依赖于他的亏群结构。通过R.Brauer, E.C.Dade, G.J.Janusz 和 J.B.Olsson等学者的一系列出色工作，亏群为循环群的p-块和亏群为二面体群、广义四元数群、拟二面体群的2-块结构得到清楚的刻画。但是，关于亏群为其他类型的p-块很少有比较整齐的结果。 张继平教授提出：今后国际上将有更多人结合现有的几个重要猜想研究亚循环亏数群的问题。受此启发，本项目将在前人工作基础上研究亏群为亚循环群的p-块（p是一个奇素数）结构，计算出一些重要的块不变量。 此外，我们还将对这类块验证Brauer的K(B) 猜想、 Olsson 猜想和Alperin猜想。 本项目的预期研究成果将在一定程度上回答张老师的问题，对进一步发展和完善局部表示论有关方法有比较重要的意义。

有限群模表示理论中，一个很重要目的是弄清楚有限群的一个p-块结构多大程度上依赖于他的亏群结构。这里所谓的块结构是指一些块不变量，例如不可约常指标个数以及不可约摸指标个数。. 在本本项目的资助下，我们的研究成果可以分为三个方面：Olsson猜想以及Brauer的K(B)-猜想；块不变量；奇异的饱和融合系。具体来说，一，G是一个有限群，p是一个素数，假设B是群G 的一个p-块，且B的亏群为D。我们验证了当B是一个亚循环p-块且p是一个奇素数时，Olsson猜想是成立的。此外，我们证明了对一类特殊的可控块，Olsson猜想以及Brauer的K(B)-猜想都是成立的。二，在亏群正规的前提下，我们给出了亚循环p-块的块不变量，即不可约常指标个数以及不可约摸指标个数。类似的，在亏群正规条件下，计算出极小非交换3-块的块不变量。三，我们得到了一个定理：两个饱和融合系乘积是奇异的当且仅当其中至少有一个饱和融合系是奇异的。. 上述的每个结果，我们都有相应的论文与之对应，共完成论文5篇，其中3篇已经发表，其余2篇在投稿在审。