平面哈密顿系统解的有界性

As a special second order differential equations, planar Hamiltonian system is one the most important objects in Differential Equations. In this project, we mainly study the boundedness of solutions for the unbounded and perturbed planar Hamiltonian systems. Our main contents are as follows: we study the boundedness of solutions of the planar Hamiltonian system by the Poincaré map. Here we allow the perturbation be unbounded or oscillatory without asymptotic limits. On the basis of the existed results, combining of our research, we hope that we can solve the proposed problems by using the variant of Moser’s small twist theorem, estimating remainders and the iteration theory and so on. By prosing and solving the problems in the project, it will help to deepen the study of the planar Hamiltonian systems, and it will extend applications of this theory in the related fields.

作为一类特殊的二阶微分方程，平面哈密顿系统是微分方程的重要研究对象之一。本项目主要研究具有无界扰动的平面哈密顿系统解的有界性。主要内容包括：在扰动项无界或者振荡不存在渐近极限的条件下，利用Poincaré映射研究平面哈密顿系统存在有界轨道的充分条件。希望在已有结果的基础上，结合我们现有的结果，利用Moser小扭转定理的变形，余项估计及迭代的理论等工具对所提出的问题予以解决。本项目中问题的提出和解决，将有助于深化平面哈密顿系统的研究并拓展该理论在相关理论中的应用。

本项目主要研究具有无界扰动的平面哈密顿系统解的有界性，依赖于导数项的不对称方程无界解的存在性，具有时间参量的半线性达芬方程拟周期解的存在性。主要结果包括：(1)在扰动项无界或者振荡不存在渐近极限的条件下，利用Poincaré映射，Moser小扭转定理的变形，余项估计及迭代的理论等工具研究平面哈密顿系统存在有界轨道的充分条件，不要求扰动项有界，从而推广了平面哈密顿系统的研究范围。(2)利用拓扑度理论，不动点定理研究了具有导数项的不对称方程的无界解，我们只要求非线性项具有广义极限。(3)通过 Aubry-Mather 定理，给出了具有时间参量的半线性达芬方程具有无穷多广义的逆周期解的新的证明方法，其中减弱了q(t) 和f(x,t) 的光滑性。