几类二阶微分方程解的定性研究

The second order differential equations with singularities or asymmetric terms are important objects in differential equations and dynamical systems. In this project, we mainly study the unboundedness of solutions and the existence of periodic solutions for some second order differential equations with singularities by the phase plane technique and nonlinear analysis methods. We also study the existence of bounded solutions for the asymmetric ordinary differential equations by the variational method. Our main contents are as follows: firstly, we will study the unbounded solutions for some second order differential equations with singularities by using the Poincaré map. Secondly, we will consider the existence of the periodic solutions for the equations by using the theory of topology degree. Here we allow the perturbation be unbounded or oscillatory without asymptotic limits. We also study the existence of bounded solutions for the second order differential equations with asymmetric terms by the mountain pass theorem and the minimax theorem. On the basis of the existed results, combining of our research, we hope that we can solve the proposed problems by using the phase plane technique, the theory of topology degree and the variational method and so on. Through the research in the project, it will help to deepen the study of the second order differential equations with singularities or asymmetric terms, and it will expand the application of this theory to the related problems.

具有奇异性或不对称项的二阶微分方程是微分方程与动力系统的重要研究内容。本项目主要利用相平面和非线性分析的方法研究奇异二阶微分方程解的无界性和周期解的存在性；利用变分法研究不对称方程有界解的存在性。主要内容包括：在扰动项无界或者振荡不存在渐近极限的条件下，利用Poincaré映射研究具有奇异性的二阶微分方程存在无界轨道的充分条件；利用拓扑度理论研究周期解的存在性；运用变分法中的山路定理和极小极大定理研究具有不对称项的二阶微分方程的有界解。本项目拟在已有成果的基础上，结合我们现有的结果，利用相平面分析、拓扑度理论及变分法等工具对所提出的问题予以解决。通过本项目的研究，将有助于深化奇异二阶微分方程和不对称方程的研究，并拓展相关理论在此类问题中的应用。

本项目主要对具有无界扰动的奇异性二阶微分方程周期解的存在性进行了研究，利用变分工具对三类非线性方程：Klein-Gordon-Maxwell(简记为KGM)方程、薛定谔-泊松方程及Hardy-Sobolev-Maz’ya方程解的存在性和多重性进行了研究。通过对这三类方程的研究，熟悉了变分方法，对所研究的扰动的奇异性二阶微分方程、不对称方程的周期解奠定研究基础。..具体来说，首先，在非线性项的原函数在无穷远处是超二次增长的，且非线性项比局部的(AR)条件和Jeanjean的(Je)条件弱的情况下，利用山路定理和Ekeland变分原理研究了非齐次KGM方程存在两个解的充分条件。其次，利用山路定理和Ekeland变分原理对具有临界指数的非线性KGM方程的正的基态解(即最小能量解)进行了研究，并且改进了(2012年Carriao)关于基态解的结果。当非线性项是凹凸项时，通过非线性项的可积性及次数q的控制，可以使得空间能够紧嵌入到权函数空间，利用变分法原理和山路定理得到了薛定谔-泊松方程存在两个解。利用下降不变流和Ljusternik-Schnirelman型的极小极大方法，得到了Hardy-Sobolev-Maz’ya方程存在无穷多变号解。最后，研究了一类带有多传播途径的传染病模型空间动力学；通过构造系统的上下解和Lyapunov函数，我们利用Schauder不动点定理证明了行波解及最小波速的存在性。此外，我们还提出了一类带有非单调出生函数的多时滞非局部反应扩散种群模型；利用时滞微分方程理论，重点分析种群是否持久，以及种群的入侵扩散现象；利用数值模拟结果，我们进一步刻画了不同成熟策略对种群持久和扩散的影响。