带有界面的最优控制问题的浸入有限体积元方法

Interface problems will arise in many practical problems, such as composite materials, multi-phase flow and tumor cell growth. Because partial differential equations which describe these problems have the interface conditions, it is more difficult to obtain analytical solutions. The project is to study immersed finite volume element method for optimal control problems with interfaces and its theoretical properties. We will do the research in three aspects as follows: the immersed finite volume element scheme and theory for linear elliptic optimal control problem with interfaces; the immersed finite volume element scheme and theory for semi-linear elliptic optimal control problem with interfaces; the immersed finite volume element scheme and theory for parabolic and hyperbolic optimal control problem with moving interfaces. This study will complement the theory of immersed finite volume element method and promote their application in fluid motion optimal control problems.

界面问题在许多实际问题中都会出现，如复合材料、多相流及肿瘤细胞生长。描述这些问题的偏微分方程因为带有界面条件，所以更加难以得到分析解。本项目主要以带有界面的偏微分方程约束的最优控制问题为研究对象，对浸入有限体积元格式的构造及理论进行科学研究。具体包括以下三个方面的内容：带有界面的线性椭圆最优控制问题的浸入有限体积元格式及其理论分析；带有界面的拟线性椭圆最优控制问题的浸入有限体积元格式及其理论分析；带有移动界面的抛物和双曲最优控制问题的浸入有限体积元格式及其理论分析。这项研究将会完善浸入有限体积元方法的理论，并且促进其在流体运动最优控制问题中的应用。

界面问题有许多应用，例如流体动力学，材料科学和生物科学。由于系数和解的不连续性，设计有效的数值方法来解决这些问题是一项非常具有挑战性的工作。有限体积元法是一种介于有限差分法和有限元法之间的离散化技术。该方法使用两个不同的剖分，并且在对偶单元上定义检验函数。为了改进经典的浸入有限体积元方法并使其易于实现，我们针对界面问题设计了新型的浸入有限体积元方法。我们的研究包含以下三个方面：(1)设计了偏罚浸入有限元格式，用于解决非齐次通量跳跃条件下的椭圆界面问题。得到了控制，状态和伴随状态的最优收敛率。我们对具有齐次跳跃条件的椭圆界面问题构造了非协调浸入有限元方法，并导出了控制，状态和伴随状态的误差估计。 (2)我们在笛卡尔网格上的对椭圆界面问题，提出了一种稳定的浸入有限体积元方法。该方法与经典的有限体积元方法有同样多的全局自由度。并且在分片H^2正则性下得到能量范数意义下的最优误差估计。 (3)对带有间断系数及锐边界面的椭圆问题提出了一种新的浸入有限体积元方法。该方法具有通常的有限体积元法的局部守恒性质。数值结果表明，该方法对于变系数问题可以达到二阶精度。从计算数学的角度来看，我们的结果为解决界面问题提供了一种新的有效数值算法，并促进了有限体积元方法的发展。从解决实际问题的角度来看，我们的结果可以为模拟实际问题，例如多相流和细胞生长，提供一种有效的数值工具。