流体最优控制问题的有限体积法

Fluid control problem comes from many scientific and engineering practices, such as river pollution control, air pollution control,fluid control naval, design of spacecraft, etc. Finite volume element method which has very good conservational properties (mass conservation, momentum conservation, energy conservation, etc.) is an effective method to approximate differential equation. So it very suitable for the numerical simulation of fluid problems. In the literature, some optimization algrithms for these problems are proposed. And finite difference method or finite element method are used to approximate these problems.This project intends to study the numerical approximation for the fluid control problem using finite volume element method. We mainly discuss the numerical soltion for 2D (not limited to 2D) Navier-Stokes optimal control problems using the finite volume element method. The main research is:(1)Prove the existance and uniqueness for the discrete system got by optimize-then-discretize approach using some results of variational inequality;(2) Investigate convergence, superconvergence, posteriori error estimates and adaptive computing of numerical approximation for the flow control problems;(3)Apply to practical problems and Guide for the application. The research project is helpful to the perfect and application of the study for the fluid control. It also has the construction and contributed to the development of the academic group.

流体控制问题来源于很多科学与工程实际，比如大气污染控制，河流的污染控制，海军舰艇的流体控制，航天器的设计等。有限体积法具有很好的守恒性（质量守恒，动量守恒、能量守恒等），是微分方程数值近似的一种有效方法, 特别适合于流体类问题的数值近似，现有的文献主要是从优化的角度来研究，或者从微分方程数值解的角度用差分法或者有限元法来研究流体控制问题。本项目拟从微分方程数值解的角度用有限体积元法来研究流体最优控制问题的数值近似。 我们主要对二维(不局限于二维)Navier-Stokes最优控制问题有限体法的数值近似进行系统的探讨。主要研究：(1)对先优化后离散的离散系统，利用变分不等式的结论讨论其解的存在唯一性；(2)探讨有限体数值解的收敛性、超收敛性以及后验误差分析及自适应计算；(3)将理论与某个实际问题结合，对此实际问题作指导。项目的研究有助于完善流体控制问题的研究和应用，也有助于学科团队的发展。

有限体积法是一种流体力学相关问题常用的数值方法，本项目拟对流体控制问题的数值方法进行研究. 研究了一类二阶双曲方程最优控制问题的Crank-Nicolson有限体积法，采用先优化后离散的方式，得出其最优性条件，在此基础上利用变分离散技巧建立了Crank-Nicolson有限体元格式，得到了最优控制问题状态变量、控制变量以及协态变量L2模关于时间步长和空间步长的二阶收敛性. 同时也分析得到了二阶双曲方程初边值问题Crank-Nicolson有限体元格式，分析得出了其关于时间步长和空间步长的二阶收敛性. 针对最优控制问题数值方法计算量大的问题，研究了一类对流扩散方程边界控制问题的简化算法，利用瞬像的奇异值分解，通过投影，将原来维数很高的计算降低到一个维数很低的计算当中，这大大的节省了计算时间和计算内存，并且不损失精度. 针对一些方程的非线性性质，研究了Burgers方程数值方法的Anderson加速迭代法，该迭代法处理非线性问题能够在很少的迭代步以内达到很高的精度. 最优控制问题实际上是一个优化问题，在研究最优控制问题数值方法的同时，研究了一类大规模优化问题的数值方法，提出了邻近随机L-BFGS方法，随机次梯度镜面下降算法，并给出了相应的理论分析，它们是一种速度快、精度高、鲁棒性好的算法，丰富和发展了大规模随机优化的数值算法.这些工作和方法，对处理非线性方程最优控制问题的数值近似提供了方法和思路. . 项目资助已发表论文5篇，接收待发表论文4篇. 培养硕士生12人，其中3人已毕业，9人在读. 项目投入经费36万，支出经费17.0941万元，各项支出与预算相符. 剩余经费18.9059万元，剩余经费计划用于本项目后续研究的支出.