一类离散 Hamilton 系统的同宿轨研究

Discrete Hamilton system has been widely applied in control theory, physics and so on, and is an important branch in the study of nonlinear science. Therefore, the research of discrete Hamilton system has very important theoretical and practical significance. In this project, by using variational method, we will study the multiplicity of homoclinic orbits for a class of second order discrete Hamilton system △[p(n)△u(n-1)]-L(n)u(n)+▽W(n,u(n))=0, and obtain some new multiplicity results. We will consider two cases for the above system as follows: .(1) L(n) is coercive matrix, W(n,u) is nonperiodic function in u, and W is asymptotically quadratic and asymmetric, respectively..(2) L(n) is neither periodic nor coercive, W(n,u) is nonperiodic function in u, and W is asymptotically quadratic and local subquadratic (that is, W(n,u) is only locally defined near the origin with respect to u), respectively.

离散 Hamilton 系统已被广泛应用于控制论、物理等学科中，是非线性科学研究中的一个重要分支。因此，离散 Hamilton 系统的研究具有十分重要的理论和现实意义。本项目将运用变分法研究一类二阶离散 Hamilton 系统 △[p(n)△u(n-1)]-L(n)u(n)+▽W(n,u(n))=0 同宿轨的多重性，获得一些新的多重性结果。我们将分两种情形对上述系统进行讨论：.(1) L(n) 是强制的矩阵，W(n,u) 关于 n 是非周期函数，且 W 分别满足渐近二次条件和非对称条件；.(2) L(n) 是既非周期又非强制的，W(n,u) 关于 n 是非周期函数，且 W 分别满足渐近二次条件和局部次二次条件（也就是 W(n,u) 关于 u 只需要在零点附近有定义）。

非线性动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。Hamilton系统是一类很重要的非线性动力系统。同宿轨是非线性动力系统的重要研究方向之一，在生物数学、力学力学、化学等中具有广泛的应用。因此，Hamilton系统同宿轨的研究具有十分重要的理论和现实意义。本项目将在已有工作的基础上，运用变分法和临界点理论对二阶Hamilton系统同宿轨的多重性进行研究。主要的结果包括：（1）在更一般的渐近二次和超二次条件下，讨论了一类二阶离散Hamilton系统同宿轨的多重性，建立了一些新的存在性准则, 改进了已有文献的结果；（2）在非对称条件下，讨论了一类二阶Hamilton系统同宿轨的多重性，得到了一个新的结果；（3）在更一般的次二次或者渐近二次条件下，研究了一类二阶Hamilton系统同宿轨的多重性，建立了一个新的存在性准则, 改进和推广了已有文献的结果。