素数分布及筛法的应用

The distribution of primes and sieve method are all the important problems in analytic number theory. In this project, we will study the gaps between of Shapiro primes and the almost-primes can be written by higher polynomial in one variable. For Shapiro primes, this project focus on the small gaps and large gaps between Shapiro primes and twin Shapiro primes. For the almost-primes can be written by higher polynomial in one variable, this project studies the weaker A.Schinzel conjecture, it means the A.Schinzel conjecture for almost-primes and related problems for the difference between of this type almost-primes.

素数分布和筛法均是解析数论中的重要问题。本项目将主要研究Shapiro型素数以及可表示为一元高次多项式型殆素数的相邻间隔差问题，所涉及的主要工具就是筛法。对于Shapiro型素数，本项目主要致力于它的小差问题和大差问题以及孪生Shapiro型素数问题。对于可表示为一元高次多项式型殆素数，本项目致力于研究弱化的A.Schinzel猜想，也就是殆素数型版本及相关的殆素数型相邻差问题。

素数分布是解析数论中的重要课题，孪生素数猜想是其中一个著名猜想。对它的重要进展是确定相邻素数的小差距是有限的。Green-Tao定理是组合数论的一个重大进展，说明了，对于任意的m ≥ 3, 素数集合中可以存在无穷多个长度为m的等差数列。对于数论函数，研究它的均值是理解数论函数的一个很好的手段。对于给定的空间，一个设计（Designs）是指一个能够好的逼近全空间的子集。对合适的拓扑空间，各种设计的存在性是代数组合领域的基本问题。. Piatetski-Shapiro 素数是一类特殊的素数，本项目致力于研究Piatetski-Shapiro 素数中的相邻小差的大小，以及Green-Tao定理在Piatetski-Shapiro 素数中的实现，对这两个问题均给出了较好的定量估计，证明了，对于任意的m ≥ 3, Piatetski-Shapiro素数集合中可以存在无穷多个长度为m的等差数列。另外，对于算术函数，本项目建立了更一般的小区间上的算术函数的均值估计，利用Selberg-Delange 方法，得到了几类函数在更小的短区间上的各种均值估计，推广和改进了以前的相关结果。对于有理数域Q上的设计，在一些必要条件下，本项目首次证明了开连通空间上的有理设计的存在性，相应地，证明了存在有理数域的一类广泛扩域上的球面设计。