高阶非线性发展方程的整体吸引子与数值解法

Since the 1980s, more and more Mathematicians began to study higher order nonlinear evolution equations. Convective Cahn-Hilliard equation and molecular beam epitaxy model equation are two important higher-order nonlinear evolution equation. Because of the existence of convective term and rational expression term, it’s hard for us to study them. Recently, only a few mathematicians ( such as Eden, Kalantarov, Yagi and so on) and us studied the two equations. There are still many problems to be solved. In this project, we will study the existence of global attractor for the above two equations with variable mobility, meanwhile, by using Fourier spectral method and finite difference method, we will also try to consider the numerical solution and numerical approximation of global attractor for the above two equations in high dimension.

自上个世纪80年代以来，越来越多的数学工作者开始关注高阶非线性发展方程的研究。对流Cahn-Hilliard方程和分子束外延模型方程是两类具广泛物理背景的高阶非线性发展方程，它们分别因为对流项的存在以及非线性项为有理式而加大了研究的难度。在近些年，仅有少量数学工作者（Eden, Kalantarov, Yagi 等人）以及最近我们曾对两类方程进行过相关的研究，仍有许多问题有待解决。在本项目中，我们将研究具变迁移率的两类方程的整体吸引子的存在性, 同时尝试以Fourier谱方法和有限差分法等数值方法为工具研究两类方程在高维情况下的数值解法以及整体吸引子的数值逼近问题。

自上个世纪八十年代以来，越来越多的数学工作者开始关注高阶非线性发展方程的研究。对流Cahn-Hilliard方程、分子束外延模型方程以及六阶相场模型方程等都是具有广泛物理背景的高阶非线性发展方程，它们都具有难以处理的非线性项，因此很难得到比较好的理论和数值结果。在本项目中，我们对几类高阶非线性发展方程的整体吸引子以及数值解法进行研究，并考虑若干方程整体吸引子的数值逼近问题。我们利用Schauder型估计等理论得到了若干具变迁移率的高阶非线性发展方程整体解的存在性并利用Dlotko等人的方法证得了修正的Cahn-Hilliard方程在全空间中整体吸引子的存在性；进一步，对于对流Cahn-Hilliard方程和分子束外延模型方程，我们巧妙地处理其非线性项，利用Fourier谱方法和有限差分法研究了其数值解法；最后，我们仍以Fourier谱方法为工具，对具对流项的Cahn-Hilliard方程建立离散格式，证得了离散格式吸引子的存在性并研究了整体吸引子的数值逼近问题。另外，我们还对高阶非线性发展方程的最优控制问题以及流体力学方程组的相关问题进行了研究，也得到了一些结果。