非凸映射的Robinson-Ursescu定理及度量次正则性

The open mapping theorem for a bounded linear operator and Robinson-Ursescu theorem for a closed convex multifunction are important in many areas, such as functional analysis, set-valued analysis, the theory of vector optimization and so on. But many nonconvex problems are more popular and more important. In this project , by the theory of variational analysis and nonsmooth analysis in Banach spaces, we shall research Robinson-Ursescu theorems and metric regularity for nonconvex multifunctions. By these results, we shall consider such problems with nonconvex and nondifferential conditions as optimal control, vector optimization, mathematical programm and so on. Also, We shall consider metric subregularity for a multifunction under the subsmoothness or weaker conditions and the stability of solutions for a generalized equation. finally, we shall research the relationships between sharp minimumm or weak sharp minimumm and KKTs conditions for a nonconvex and nondifferential function under the constrained conditions of finitely many subsmooth inequalities and a set. These research results are important in theory and applications and will be effective academic tools for nonconvex and nonsmooth problems.. This project is research on theory and application. We shall publish 7-9 research papers in excellent journals at home and abroad.

有界线性算子的开映射定理和闭凸多值映射的Robinson-Ursescu定理在泛函分析、集值分析及优化理论等诸多领域中有极为重要的作用。但不具有凸性条件的问题更为普遍，更为重要。本项目将拟应用Banach空间上的变分分析、非光滑分析理论，研究非凸多值映射的Robinson-Ursescu 型定理和度量正则性，并利用其研究不具有凸性和可微性假设的最优控制、向量优化及数学规划等问题，研究次光滑或更弱的条件下多值映射具有度量次正则性及广义方程解的稳定性，并考虑非凸、不可微函数在有限多个次光滑不等式和集约束下具有 sharp 解或弱sharp 解与各种KKT型条件的关系。这些研究结果在理论和应用中都有意义, 将为解决非凸和非光滑问题提供有效的理论工具。.本项目的研究为理论及应用研究，预计在国内外本领域的优秀刊物上发表研究论文7-9篇

Banach空间上的线性有界算子的开映射定理在泛函分析中具有基础性的作用，作为其推广到多值映射的情形， Banach空间上的闭凸多值映射的 Robinson-Ursescu定理在变分分析、优化理论等研究中也有重要作用，与向量优化问题中的度量正则性、误差界有密切联系。为解决非凸多值映射在理论和应用中的诸多问题，对非凸多值映射，有必要建立类似凸情形下的Robinson型定理。本项目居于变分分析的基本理论和方法，建立几类非凸多值映射的Robinson-Ursescu 型定理。把对线性映射，单值光滑映射和闭凸多值映射的相关已有结果推广到更为一般情形。我们给出了非凸多值映射具有度量正则性,度量次正则性的一些刻画，并研究了非凸不等式的误差界，有限多个非凸闭集的线性正则性和次光滑多值映射的伪李普希兹性质, 广义方程具有度量次正则性、Holder度量次正则性的条件及锥不等式的误差界。应用它们研究了广义方程解的稳定性，不等式系统的Holder误差界，下半连续函数极小解的 Tilt 稳定性。我们还研究了带有不等式和等式约束的优化问题强KKT条件与sharp解的关系，把有关该问题的相关结果推广到更为一般的非凸情形。. 在算法理论中，利用凸向量优化问题中的对偶性理论，广义Benders分解法，凸函数次微分及KKT条件，我们建立了一系列的求解混合整数非线性优化问题(MINLPs)的算法和收敛性定理。我们还对Hilbert空间中的非光滑函数建立了非光滑最速下降算法，并利用该算法在有限维空间中寻找下半连续凸函数的稳定点。. 在优化理论的研究中，我们研究了图为有限个广义多面体之并的多值映射的解集和值集的结构和连通性，获得了一些该类多值映射的Pareto解集和值集的结构和连通性定理。对一类DC向量值函数给出了严格Minty 变分不等式和严格Stampacchia 变分不等式，并研究了这两类变分不等式问题与DC函数优化问题的严格Pareto 解的关系。. 以上全部研究结果共在国内外优秀SCI刊物发表专业研究论文13 篇(1篇国内,12篇国外)。.