次微分表示理论与空间几何特征研究

运用拓扑线性空间、泛函分析的理论，结合近年发展起来的无穷维变分分析方法和技巧，研究次微分表示理论及Banach空间几何的新特征，进而研究无穷维齐次优化问题和次可微意义下隐函数的存在性问题。首先对几类齐次次微分建立广义欧拉定理，架起次微分的表示与空间几何问题之间的桥梁，推导次可微性、广义几何性质、次微分映射和支撑映射之间的关系和性质，获得Banach空间几何的新特征。然后利用次微分映射的性质，讨论支撑映射在稠密集上的（半）连续性，研究弱Asplund空间的几何性质，探索解决弱Asplund难题的途径。最后应用广义欧拉定理，给出无穷维齐次优化问题的最优条件；运用由齐次次微分确定的相依切锥代替超切平面，证明相应的隐函数存在定理并拓展其应用。这些研究无论在理论上还是在应用方面都将产生深远的影响，将在泛函分析与变分分析交叉的新研究方向上作出具有先进水平的工作，在国际核心刊物发表论文5－8篇。

本项目应用非光滑分析、变分分析及非光滑向量优化的基本理论，居于次微分的表示理论和Banach空间的几何特征，重点做了下面几方面的研究工作：.1. 分别在一般Banach空间和Asplund空间上，研究一类带有集约束的次光滑广义方程具有度量次正则性和静态性质的充要条件，并给出了该类广义方程具有强度量次正则性的一些等价刻画。.2. 在一般Banach空间中，研究了图为有限个广义多面体之并的多值映射的解集和值集的结构和连通性，获得了一些该类多值映射的解集和值集的结构和连通性定理。我们把Arrow, Barankin, Zheng 和Yang等的有关结论推广到更为一般的情形。.3. 研究了闭凸多值映射的静态性质，借助切锥与切导数建立了闭凸多值映射具有静态性质的Primal特征；作为应用，所建立的特征定理被用于有限多个闭凸集线性正则性的研究，得到此类情形具有线性正则性的等价条件。.4. 通过距离函数的Clarke次微分，研究了p一致次光滑(非凸)闭集簇的线性正则性，并利用法锥及G性质建立了此类非凸闭集簇具有线性正则性的等价条件。.5. 研究了Mosco收敛闭集列以及所对应法锥的收敛。作为应用，针对Mosco epi-收敛函数列，我们建立了函数所对应次微分的收敛，从而推广并改进了现有关于Mosco收敛函数列次微分收敛的结果。.6. 误差界的扰动稳定性是优化理论中的一个难点问题。本项目在Ngai, Kruger和Thera 所作的关于凸系统误差界稳定性结果基础上，主要研究了拟次光滑(非凸)不等式误差界的扰动稳定性，并建立了此类非凸不等式误差界具有扰动稳定性的特征定理。.7. 利用有限位空间中向量值函数的Clarke次微分的表示定理，建立了一类向量值函数的高阶次微分形式的泰勒公式，作为应用，获得了向量优化问题中的高阶充分性优化条件。.8. 最后，我们还研究了一类非线性方程的解的存在性。.以上全部研究结果共发表专业论文9篇，其中8篇在国际知名SCI刊物上发表(3篇顶级SCI刊物上)，1篇在国家级核心中文刊物上发表。