约束力学系统的动力学行为

The singular points, closed orbits, stable manifolds and unstable manifolds of the typical Lagrange system are discussed, the criteria for singular points, closed orbits and hyperbolic equilibrium points are given, the static bifurcation and dynamic bifurcation are researched, moreover the stability of equilibria and global stability are studied. Hopf bifurcation in the high order autonomous Birkhoff system is studied, and the closed orbits which can become limit cycles after being perturbed and the number of limit cycles are discussed. Chaotic behaviour in high order autonomous Birkhoff system with a heteroclinic or homoclinic circle under weakly periodic perturbation is studied. This research is conducted in an effort to improve and perfect the theoretical system of Birkhoff dynamics,to provide a new approch of nonlinear dynamical behavior of Lagrange system. Topics of the project are related to interdisplinary subjects such as: analytic mechanics, stability of motion and nonlinear dynamics. The research of these items not only has important theoretical values, but also has deep practical background.

研究典型Lagrange系统的奇点、闭轨、稳定流形和不稳定流形, 给出奇点判据、闭轨判据和双曲平衡点判据,以及与之相关的稳定性,研究该系统的平衡稳定性和全局渐近稳定性, 进一步研究该系统的静态分岔和动态分岔; 对高维自治情形Birkhoff系统的周期闭轨进行研究,进一步研究其霍普夫分岔;研究具有同宿、异宿轨道的高维自治Birkhoff系统在弱周期扰动下的混沌。该课题充实和完善Birkhoff系统动力学理论体系; 开辟Lagrange系统在非线性研究领域的新方向; 该课题是分析力学、运动稳定性、非线性动力学等学科的交叉方向,不仅有重要的理论意义,而且具有重要的实际应用价值。

对二阶广义自治Birkhoff系统的奇点进行了系统分析，给出了奇点类型，并得到了该系统极限环的不存在判据。给出Lagrange系统的奇点方程并用Lyapunov间接法得到该系统奇点稳定性的判别定理。利用Liapunov函数法和Красовский方法研究了二阶广义自治Birkhoff系统的全局渐近稳定性。分析了双参数对广义 Birkhoff系统和广义Hamilton系统稳定性的影响。提出一个新的分数阶动力学稳定性理论，即分数维Birkhoff系统的平衡状态流形稳定性理论。构造一类分数维Lorentz-Dirac模型并探讨该模型的动力学行为，研究了该模型平衡状态流形的稳定性。利用广义斜梯度系统、具有对称负定矩阵的广义梯度系统以及组合梯度系统方法分别研究了自治Birkhoff系统、约束广义自治Birkhoff系统、非自治Birkhoff系统等系统的稳定性，给出了研究约束力学系统的稳定性的一种新方法，即梯度系统方法。把对称性理论推广应用于广义Birkhoff系统和事件空间中Birkhoff系统，研究了两类系统的Lie对称性、Mei对称性，得到了对应的守恒量。研究了一类典型Lagrange系统，即压电堆叠作动器的对称性求解。研究了一类非自治广义Birkhoff系统和二阶自治广义Brikhoff系统的奇点分岔，得到了奇点类型分岔和稳定性分岔的判据。研究了两类典型Lagrange系统，即二自由度弱非线性耦合系统和弱非线性耦合二维各向异性谐振子的混沌行为，对系统进行数值模拟，并运用庞加赖截面观察系统在相空间的运动轨迹，发现随着能量的增加系统经历规则运动、规则运动与混沌并存等阶段，最后出现了混沌现象。提出了一种改进的粒子群优化方法（PSO算法），并应用于压电定位系统含迟滞非线性动力学模型的参数辨识中。