一类趋化与主动传输作用下肿瘤生长扩散界面模型的动力学行为研究

Cancer is one of the major diseases that threaten human’s life. Applying mathematical theory to analyze the models of tumor growth is of great significance for optimizing therapeutic regimens that maybe efficiently help to kill cancer cells and reduce the damage of normal cells. Based on the systematic analysis of mathematical difficult obstacles for the theoretical study of the diffuse interface models of tumor growth, the objective of this project is to study a class of diffuse interface models of tumor growth with chemotaxis and active transport, which aim to analyze the well-posedness and long-time asymptotic behavior of solutions as well as optimal control problems for such models via the knowledge of nonlinear functional analysis, partial differential equations and the infinite dimensional dynamical systems. In order to address these issue, the essential difficulty due to the presence of degenerate mobility, the non-local and singular potential needs to be overcome. The project focuses on the studies of the mathematical theory by practical applications, a interdisciplinary research between applied mathematics and theoretical medicine, which not only plays an important role in designing appropriate numerical schemes and understanding its numerical simulations, but also provides necessary theoretical support for theoretical medicine research.

肿瘤是当今威胁人类生命的主要疾病之一，应用数学理论分析肿瘤生长模型，对优化治疗方案更有效的杀灭癌细胞和减少机体正常细胞的损伤具有重要意义。在对肿瘤生长扩散界面模型理论研究中亟待解决的数学难点问题进行系统梳理的基础上，本项目拟对一类趋化与主动传输作用下肿瘤生长扩散界面模型进行研究，目标是利用非线性泛函分析、偏微分方程与无穷维动力系统理论分析该模型解的全局适定性、长时间渐近性态及最优控制问题，重点解决退化迁移率、非局部及奇异势能等给定性理论分析带来的本质困难。本项目是应用数学驱动的数学理论的研究，是应用数学与理论医学的交叉研究，不仅对设计适当的数值格式进行数值模拟具有重要的作用，还对理论医学的研究提供了必要的理论支撑。

本项目以流体方程组和肿瘤生长扩散界面模型的最优控制问题、能控性问题和长时间行为等为主要研究对象， 首先研究了三维大尺度大气海洋方程组和肿瘤生长扩散界面模型的最优控制问题，证明了其最优控制的存在性及其所满足的一阶最优性必要条件，并研究了一类与肿瘤生长相关相场模型最优控制的稳定性。其次，对四阶半线性抛物方程组的能控性、不灵敏控制和分级精准控制问题进行了研究，建立了相应的Carleman不等式和能观不等式，并结合对偶方法和不动点定理证明了四阶抛物方程零能控、不灵敏控制和分级精准控制的存在性；对局部阻尼波/板方程的长时间行为和稳定性进行了研究，证明了其有限维全局吸引子的存在性。再次，基于反馈控制的思想，分别提出了二相流模型和三维大尺度大气海洋方程组的连续数据同化算法和离散数据同化算法，给出了近似解指数接近真实解的假设条件，在一定程度上提供了在初始条件缺失的情形下重构系统真实解的一种方法。最后，我们对流体方程组和三维大尺度大气海洋方程组的动力学行为进行了研究，基于l-轨线方法，提出了构造拉回指数吸引子的一种新方法，并成功应用于多个数学模型中，得到了拉回指数吸引子的存在性；同时也对这些模型的统计性质进行了研究，证明了静态解的存在性和上半连续性，从某种程度上反映了动力系统的某种稳定性。本课题的研究对深入认识流体方程组和肿瘤生长扩散界面模型相关现象的控制，流体方程组和三维大尺度大气海洋方程组的长时间发展趋势具有非常重要的理论意义。