趋化与趋食饵 PDE 模型解的动力学行为

This project is to study the influence of chemotaxis and prey-taxis on the survival and distribution of species. We will study the large time behavior of solutions to the Keller-Segel system with logistic source. The involved is an important and interesting problem in biology which describes the movements of cells under the influence of chemical substances produced by themselves. We pay attention to the influence of logistic source, chemotaxis and self-diffusion on the boundedness as well as large time behavior of solutions. At first, we study the effect of the three mechanisms on the global existence and boundedness of solutions. And then intend to give the asymptotic behavior of solutions and the convergence rate to the steady states. In addition, we will consider the same problems to a class of predator-prey PDE model with prey-taxis and logistic source, and compare the mechanisms and results between the chemotaxis and prey-taxis. Nowadays, there are few results on the asymptotic behavior of solutions to the related models. We hope that our studies will benefit understanding chemotaxis (prey-taxis) phenomena with some technical improvements to the involved methods.

本项目拟研究带源的 Keller-Segel 方程 Chemo-taxis(趋化) 模型以及捕食-被捕食 Prey-taxis(趋食饵) 模型解的动力学行为。具体来说，首先研究一类带源的K-S方程组解的长时间行为。模型描述细胞在自分泌化学物质影响下的演化行为，是一类相当重要而有趣的生物学问题。着重考虑源、趋化性以及自扩散等因素对解的有界性以及长时间行为的影响。通过分析三种机制的相对强弱情况，建立解的整体存在及有界性条件。再进一步讨论整体解的渐近行为，包括解趋于稳定态时的收敛速率。其次平行地对一类带源的捕食-被捕食 Prey-taxis(趋食饵) 模型同样讨论上述问题，并比较两类模型的机理与结果的异同。迄今关于这些模型解的渐近行为的结果还比较少，期望通过本项目得到关于解渐近行为的若干有趣结果，有助于对生物趋化（趋食饵）现象的理解，并对相关研究方法有所改进。

研究发现，微⽣物及细胞等⾃身分泌的化学物质对它们的生存状态及分布情况有重要影响，即所谓趋化（chemotaxis）现象。这⼀现象可以⽤来描述胚胎发育、神经系统的形成、伤⼜⼝愈合、免疫细胞对炎症的消除、肿瘤细胞的⽣长等过程。刻画这一现象的一个经典的微分方程模型由Keller和Segel给出（称为K-S模型）。在本项⽬中，我们研究了一类带logistic源的拟线性吸引排斥型K-S方程组解的整体存在性和长时间行为。我们着重考虑源、趋化性以及自扩散等因素对解的有界性以及长时间行为的影响。由于扩散项的作用是防止种群聚集，logistic源项在种群密度小的时候起聚集作用而在种群密度大的时候起排斥作用，根据分泌物的不同趋化性项分别起到吸引（聚集）或排斥的作用。通过分析三种机制的相对强弱情况，我们给出了模型存在整体有界解的条件，并通过引入Lyapunov函数进一步讨论了整体解的渐近行为，得到在一定条件下方程组的解会收敛到对应的稳态问题的常数平衡解，同时给出了收敛速率的估计。..在生态系统中，种群的分布情况随时间的演变对生态系统的研究至关重要，捕食被捕食模型是这类研究中的一种常见模型，为了维持生态平衡有时候需要先通过数学方法对种群的演化情况进行分析并根据分析结果作出相应的对策，比如对濒危物种划定保护区以及保护区大小的设定等。我们研究了一类带有Beddington-DeAngelis型功能反应项的捕食被捕食模型的保护区问题，通过分支分析给出该模型正稳态解的存在性、多解性的条件，并进一步研究该问题丰富的动力学行为。