大尺度大气海洋本原方程组的长时间行为

Based on the systematic analysis of mathematical difficult obstacles for the atmosphere and ocean dynamics, the current proposed project will provide theoretical analysis on the three dimensional primitive equations of the large-scale atmosphere and ocean dynamics. From the point view of infinite dimensional dynamical system, combined with the theory of partial differential equations, deeper research firstly will be focused on the regularity of the attractor for the three dimensional autonomous and non-autonomous primitive equations of the large-scale atmosphere and ocean dynamics in a bounded cylindrical domain. Secondly, by the methods of Palay-Littlewood decomposition and semigroup decomposition or the method of energy equation, we will explore the existence of attractor of the three dimensional autonomous and non-autonomous primitive equations of the large-scale atmosphere and ocean dynamics in an unbounded cylindrical domain. Finally, combining with the theory of stochastic partial differential equations, we will explore the long-time behavior of the three dimensional stochastic primitive equations of the large-scale atmosphere and ocean dynamics in a bounded cylindrical domain, and prove the existence of a stochastic attractor and estimate its fractal dimension. Corresponding theoretical analysis methods will be provided. The research not only possesses high academic significance for the deep exploration of basic law and physical mechanism for the motion of the coupled atmosphere-ocean, but also has significant theoretical guidance value for studying many aspects of atmospheric and oceanic science.

在对大气海洋系统研究中亟待解决的数学难点问题进行系统梳理的基础上，本项目研究拟从无穷维动力系统的角度出发，首先运用偏微分方程理论，对三维自治和非自治大尺度大气海洋本原方程组在有界柱形区域上吸引子的正则性进行更深入的研究。其次，采用Palay-Littlewood分解与解算子分解方法或能量方程方法，探讨三维自治和非自治大尺度大气海洋本原方程组在无界柱形区域上吸引子的存在性。最后，结合随机偏微分方程理论和无穷维动力系统方法，探索三维随机大尺度大气海洋本原方程组在有界柱形区域上的长时间行为，证明其随机吸引子的存在性并估计它的分形维数。针对上述研究内容，给出相应的理论分析方法。项目研究不仅对深入探索大气海洋耦合系统运动的共同基本规律和物理机制具有良好的学术意义，同时对大气和海洋学中许多方面的研究具有一定的理论指导价值。

本项目以流体方程组的长时间行为为主要研究对象， 首先研究了带有加性或乘性高斯噪音的三维大尺度海洋环流的行星地转方程组解的长时间行为，证明了其随机吸引子的存在性、正则性及上半连续性，并研究了三维非自治大尺度海洋环流的行星地转方程组拉回吸引子的正则性。其次，研究了三维自治大尺度大气海洋本原方程组在有界柱形区域上全局吸引子的存在性、正则性、分形维数估计及指数吸引子的存在性；对三维自治大尺度大气海洋本原方程组在无界区域上全局吸引子的存在性进行了研究，同时还证明了三维非自治大尺度大气海洋本原方程组有限维拉回吸引子的存在性及正则性，在一定程度上揭示了大气海洋动力学行为的复杂性。再次，通过能量泛函与Z2指标研究了对称动力系统的全局吸引子的多重平衡点的存在性，揭示了吸引子具有无穷维分形维数的特性，反映了该吸引子几何结构的复杂性。最后，我们对具有动力学边界条件的二相流模型进行了研究，证明了其吸引子的存在性及分形维数的有限性，从某种程度上也反映了动力学边界条件对吸引子正则性的影响。本课题的研究对于深入认识大尺度大气海洋方程组的长时间发展趋势及无穷维动力系统全局吸引子几何结构的复杂性具有重要的理论意义。