退化扩散趋化模型的相关问题研究

This project aims to the investigation of the chemotaxis models with degenerate diffusion of profound practical background and important theoretical values. We will investigate a variety of nonlinear degenerate diffusion models such as chemotaxis model, haptotaxis-chemotaxis model, chemotaxis coupled with fluid model, including the existence, global boundedness, long time behavior, stability of equilibrium solution, rate of convergence, the property of slow diffusion and description of propagating speed, and other relevant properties. Chemotaxis is the directed movement of cells and organisms in response to chemical gradients. In realistic situations, it is emphasized that migration of the cancer cells should rather be regarded like movement with degenerate diffusion from a physical point of view. Compared with the linear diffusion cases, the study of chemotacxis system with degenerate diffusion is rather limited. The mathematical analysis of the chemotaxis system with nonlinear diffusion, especially for the singularities such as degeneracy, has to cope with considerable additional challenges and essential difficulties. Our research not only can help in understanding observed behaviors of biology and provide theoretical foundation for practical problem, but also will enrich the theory of partial differential equations to some extent.

本项目旨在研究具有深刻生物背景又有重要理论价值的退化扩散趋化模型的相关问题，主要包括具退化扩散的趋化模型、趋化-趋触模型、以及趋化流体耦合模型解的存在性、整体有界性、长时间行为、平衡解的稳定性及收敛速率，慢扩散性质及传播速度的刻画等相关内容。趋化现象是一种微生物向化学药物浓度升高方向聚集的生物现象。事实上，大量的生物模型存在着退化扩散现象。就描述问题的广泛程度以及反映实际的精确程度而言，具退化扩散的问题更加接近实际情况。与具线性扩散模型的大量研究结果相比，具非线性退化扩散模型的研究还非常有限。趋化作用与非线性扩散作用的存在，尤其是非线性扩散导致的退化等奇异性，都会给问题造成研究上的本质性困难与挑战。本项目的开展既可以为解决实际问题提供参考信息和理论依据，还可以进一步补充和完善偏微分方程的数学理论。

本项目针对几类具退化扩散的生物趋化模型以及相关的退化反应扩散方程的定性问题开展了研究。趋化现象是一种生物体向化学信号浓度升高方向聚集的生物现象，在细胞生物学、微生物学、生态学中广泛存在。退化扩散特别是渗流型扩散是一种具正反馈的密度依赖型扩散，为了避免高密度区域的种内竞争，物种的扩散速度随种群密度的增加而增加。趋化作用与退化扩散的奇异性，都会给问题造成研究上的本质性困难与挑战。本项目主要关注于几类典型的退化趋化模型解的传播性质的研究。对于具退化扩散的肿瘤趋化模型，证明了解的整体存在性以及解的紧支集有限传播的性质，并给出了稳态解的稳定性分析。对于描述了细菌在流体中运动的氧气消耗型的趋化模型，我们着重研究了解的动力学行为，特别地，我们发现当初始的信号浓度分布满足一定条件时，解的紧支集会发生收缩，这与好氧菌的趋化的生物实验现象是相吻合的，为这类问题的研究提供了一个重要的理论参考。此外，我们还对具退化扩散的时滞种群动力学模型开展了研究，通过研究方程一类特殊的解，行波解，对方程解的传播性质给出了精细的刻画，首次发现了Sharp-振荡型的行波解，一定程度上补充和完善了此类退化型扩散方程的数学理论。