有限维动力系统可积的刻画及其动力学研究

This proposal will focus on the determination of integrability of finite dimensional dynamical systems, and the dynamics of integrable differential systems. The concrete problems to be studied are the four related aspects: 1. Prove integrability of Lie-Poisson Hamiltonian systems on all real forms su(p;q), p+q=n+1 of comlex semisimple Lie algebra, and provide the characterizaiton and their Lyapunov stability of generic relative equilibria of algebra of commuting integrales of motions on generic adjoint orits; 2. Determine the precise real form on which the Bloch-Iserles system is integrable and study the stability of the generic relative equilibria on the maximal dimensional adjoint orbits. 3. Distinguish the occurence or failure of convexity for integral affine structure in a neighborhood of elliptic and focus-focus singularity, the local convexity near focus points, global convexity in dimension 2, and global convexity for integrable systems with n degrees of freedom admitting a system preserving n-1 dimensional torus-action. 4. The determination of infinite smooth integrability and the classification of analytic integrability of analytic differential systems at a singularity with one zero eigenvalue and a unique resonance.

本项目拟在有限维动力系统可积的判定、以及可积微分系统动力学的刻画方面展开研究。具体为相关联的四个问题：1. 证明复半单李代数的所有实形式 su(p; q), p+q = n+1上的Lie-Poisson哈密顿系统的可积性，以及so(n+1)和su(p,q)中通有伴随轨道上可交换的首次积分的代数的共同平衡点的判定及其Lyapunov稳定性；2. Bloch-Iserles系统可积的精确实形式，及其具有最大维数的伴随轨道上通有的相对平衡点的稳定性；3.研究椭圆奇点或焦-焦型奇点邻域首次积分仿射结构的凸性的存在性，以及微分系统在焦型奇点邻域的局部凸性、2维时的整体凸性、和保持环作用的n自由度可积哈密顿系统的整体凸性；4. 解决解析微分系统在具有零特征值的单一共振条件下奇点邻域无穷光滑可积性的判定和解析可积性的分类。

本项目研究有限和无穷维动力系统的动力学问题，其中可积系统是该项目的核心研究内容。对于复半单李代数，有“刚体距离”，其测地流是可积Hamilton系统。这个距离诱导了诸如分离实、紧、和分离紧实形式等，其可积性是已知的。但这些系统在复半单李代数的所有实形式上没有被研究。项目对这些测地流的可积性给出研究，并建立了它们的通有平衡点的Williamson正规形（包括例外的半单李代数的情形）。可积联系到动量映射的凸性质，项目在预辛流形上给出动量映射的凸性。对于低维情形，建立非Hamilton的可积系统与机器人连杆和Clebsch优化控制的联系。项目也系统研究了具有椭圆和焦点-焦点型奇点可积Hamilton系统的辛凸性。这些系统的一个典型特征是它们的基空间是光滑的（如环等），但它们的可积仿射结构具有奇性，如具有非平凡的单质映射等。关于该方向获得一系列的凸性结果。约化理论是Hamilton力学的核心之一，项目建立了辛流形和预量子丛的Teichmüller空间和Frobenius情形的约化。课题还研究了量子力学，解决了关于量子纠缠的一个10多年的遗留问题。最后，对具有预计量的耗散ODE和PDE建立限制随机变分原理。这些应用于从经典Euler-Poincare限制变分原理导出可压缩Navier-Stokes方程等。