离散与连续的有限维可积系统及其应用

用非线性化方法构造新的离散与连续有限维可积系统。通过"分解、拉直、反演"的框架方法，将它们应用于计算离散与连续孤子方程的有限带精确解析解。.离散情形：通过相容方法和Darboux变换等途径寻找新的离散谱问题，用以生成新的可积辛映射。重点开发用母函数寻找非线性约束条件、用Riemann面上的Abel微分方法实现离散流在Jacobi簇上拉直等关键技术。此外，将伪球面离散运动与离散sine-Gordon模型中可积辛映射的关系推广到其它系统。.连续情形：一方面，研究3阶谱问题产生的有限维可积系统，着重解决相应3叶Riemann面的Jacobi簇中Hamilton流的拉直等关键技术问题，以此为基础计算Davey-Stewartson方程、三波方程等重要应用模型的有限带精确解。另方面，对2阶谱问题产生的有限维可积系统，用Lax-Moser矩阵的代数结构进行分类研究。

在离散可积方程和可积辛映射的生成、离散孤子方程精确解的计算方面，发展出一套有效的框架方法，取得了一系列创新成果。对连续型可积方程的研究，也做出了重要推进。.1．发展出一套有效的可积离散化方法，从连续模型的谱问题出发，利用相容条件找出离散谱问题，组成Lax对，生成离散孤子方程。成功地应用于KdV、SG、AKNS、Liouville等孤子族，导出一批新的离散与半离散可积方程。此外，对Kaup-Newell族、KM族、dSKdV族、三角Gaudin模型等的应用，亦取得成功。.2．首创离散版本的非线性化方法，由离散谱问题生成可积辛映射。其中找到了正确的非线性化约束条件，对一系列基本案例获得成功。此外，利用外微分工具证明同一Liouville平台上的两个可积辛映射的可换性，为离散可积方程精确解的计算奠立了基础。.3．制定出离散版本的Burchnall-Chaundy理论，为计算离散可积方程精确解提供一个有效的框架方法。出发点是前述的离散型非线性化约束条件。由此导出一系列基本工具，包括可积离散流与有限亏格位势，Dubrovin-Novikov公式与Baker函数的因子，离散流在Jacobi簇上的拉直。利用此种工具，有效地算出一系列全离散可积方程的有限亏格解，包括著名的ABS单子中谱参数空间亏格为零情形的全部方程，即H1，H3(0)和Q1(0)，全离散的KdV，SG和MKdV方程，以及ABS单子外的几个方程，包括AKNS族导出的三个新的全离散可积方程，和Veselov的离散化C Neumann系统。.4．连续可积模型的研究方面。（1）对于Liouville可积性中函数独立性难题，利用Jacobi簇上母函数流的拉直，一举求出相空间中保持积分独立性的稠密开子集。（2）沟通带奇性的Rosochatius系统与KdV方程，用于计算KdV方程的Its-Matveev解。（3）发现同时支撑众多离散与连续可积模型的Liouville大平台。