不完全观测下信号恢复的理论与算法

The recovery of signals using incomplete measurements is widely used in many industry areas. The aim of this project is to study theory and algorithms for the recovery of signals using incomplete measurements. We first study the theory problems from phase retrieval. Particularly, we plan to present the minimal measurement number under which the signals can be uniquely determined. We also consider the similar problem for the phase retrieval with shift and phase retrieval by projection. Study the dimension and the degree of algebraic variety which consist of sparsity low rank matrices and hence give the minimal measurement number for the recovering of sparse signals from phaseless measurements. Using the results from compressed sensing, we study the performance of L1 minimization for the recovery of sparse signals from phaseless measurements. And extend main results in compressed sensing, such as RIP condition, to phase retrieval. Design and analysis fast algorithms for the recovery of signals from phaseless measurements such as Gauss-Newton method. Consider the sparse interpolation problem with using few interpolation points to recover a sparse signals. Develop a software for the algorithms and use them in high resolution imaging area.

通过不完全观测信息对信号进行重建在多个应用领域中均被提出，本项目主要研究各种不完全观测下信号重建的理论与算法。首先考虑无相位观测的基础理论问题，拟给出无相位观测下，信号可被唯一确定的的最小观测次数，特别是考虑加仿射平移下的相位恢复及投影相位恢复的问题。研究稀疏低秩矩阵所形成的代数簇维数和次数，并依此给出在无相位观测下，稀疏信号可被唯一确定的最小观测次数。与压缩感知结合，研究求解稀疏信号相位恢复的L1最小模型，并将压缩感知的一些基本结果，如 RIP 条件等，扩展到无相位观测。设计与发展求解各类相位恢复问题的算法，特别是分析求解相位恢复的Gauss-Newton方法，并将这些算法扩展到稀疏信号情形。研究稀疏插值问题，特别是利用函数的稀疏特征，依据不完全的插值点对函数进行重建。将发展的算法形成相应的软件，用于高分辨稀疏成像等领域。

项目主要针对通过不完全观测对信号或函数恢复的理论基础和算法进行研究，特别是针对相位恢复、低秩矩阵恢复、稀疏插值等的理论基础和算法问题进行研究。对其中的一些关键性的理论基础问题取得进展。针对矩阵恢复问题，在复数情形，解决了Eldar, Needell, Plan提出的低秩矩阵恢复最小观测次数猜想。并采用计算代数几何工具，在实情形，否定了矩阵恢复的最小观测次数猜想，并进一步否定了著名相位恢复专家 Peter G. Casazza等人提出的投影相位恢复最小观测次数的公开问题。针对相位恢复，研究了最小观测次数问题。特别是，在相位恢复与一些基础数学的分支建立了关联，如非奇异双线性形式，代数簇的维数及射影空间在欧式空间中的嵌入等。针对仿射相位恢复，给出了其最少观测次数，并将仿射相位恢复扩展到广义仿射相位恢复，研究了广义仿射相位恢复的最少观测次数及稳定性等问题。在相位恢复中， 最常用的一个求解模型是非线性最小二乘摸型。 但长期以来，缺少对该模型的理论基础分析。我们针对该模型进行了分析，特别是分析了其减噪性能。求解相位恢复的算法是近期研究热点问题。 针对该问题，我们设计了求解相位恢复的Gauss-Newton算法，并证明了该算法具有全局二阶收敛性质。这是迄今为止，唯一一个可被证明具有全局二阶收敛的相位恢复算法。以正交多项式作为基底对函数进行逼近在不确定量化中具有广泛应用。在实际问题中， 人们除知道插值点的函数值以外，也会得到部分梯度信息。针对该问题，我们研究了加梯度信息的多项式逼近在不确定量化中的应用，设计了相关算法，并对稀疏多项式插值进行了进一步研究。解决了近期同行关注的框架最小势猜想。